Rovnice kontinuity

WVU

umime.to/WVU

U proudění tekutin definujeme tzv. objemový průtok Q_V. Je to objem tekutiny, který proteče trubkou za jednotku času. Jednotkou je tedy m³/s a platí:

Q_V=\frac{V}{t}

Příklad: ropovod

Jaký byl průtok ropovodem, pokud za 1 minutu proteklo 30 m³ ropy?
Známe V i t.
Čas t není v základních jendotkách, musíme jej tedy převést na sekundy t= 60\,\mathrm s
Dosadíme do Q_V=V/t
Q_V=30/ 60 \,\mathrm {m^3/s}=0{,}5 \,\mathrm {m^3/s}.
Průtok je 0{,}5 \,\mathrm {m^3/s} ropy.

Objem V je ale roven součinu průřezu trubice S a posunu kapaliny o dráhu s. Po dosazení máme Q_V=\frac{S\cdot s}{t}.

Víme přitom, že \frac{s}{t} je klasická definice rychlosti, tedy i rychlosti proudění v. Pak můžeme průtok zapsat ekvivalentní rovnicí:

Q_V=S\cdot v

Příklad: Lipno

Jaký průtok vody míří na turbínu vodní elektrárny Lipno I, pokud v její 15 m² přívodní šachtě proudí voda rychlostí 2 m/s?
Známe S i v a to v základních jednotkách.
Stačí tedy dosadit dosadit do Q_V=S\cdot v
Q_V=15\cdot 2 \,\mathrm {m^3/s}=30 \,\mathrm {m^3/s}
Průtok je 30 \,\mathrm {m^3/s}.

Protože jsou kapaliny nestlačitelné, musí být průtok Q_V v uzavřeném plném potrubí všude stejný (jinak by se někde musela hromadit).

Pokud tedy porovnáme dvě místa (Q_{V{,}1}=Q_{V{,}2}) a dosadíme za jednotlivé průtoky, vznikne známý vzorec rovnice kontinuity:

S_1\cdot v_1=S_2\cdot v_2

Příklad: stále stejně tlusté potrubí

Jak se mění rychlost ideální kapaliny při průchodu stále stejně tlustým potrubím?
Nabízí se odpověď „všude stejná“. Ověříme to.
Pro dvě místa v trubici platí S_1\cdot v_1=S_2\cdot v_2.
Oba průřezy S_1 i S_2 jsou stejné, označme je tedy jednotně jako S.
Máme S\cdot v_1=S\cdot v_2. V této rovnici můžeme krátit S.
Dostaneme v_1=v_2. Tedy i rychlosti musí být stejné.

Příklad: přechod potrubí na třikrát větší průřez

Jak se změní rychlost ideální kapaliny při rozšíření potrubí na trojnásobný průřez?
Nejprve přiřadíme jednotlivým místům v potrubí označení: užší část bude (1) a širší (2).
Platí S_1\cdot v_1=S_2\cdot v_2.
Víme že S_2=3\cdot S_1. Dosadíme to do rovnice.
S_1\cdot v_1=3\cdot S_1\cdot v_2. Můžeme krátit S_1.
Dostaneme v_1=3\cdot v_2. Hledáme ale rychlost v_2.
Dělíme tedy 3 a dostaneme v_2=\frac{1}{3} v_1.
Rychlost tedy bude třetinová.

Zajímavosti

Přibližně platí i pro volně proudící kapalinu (řeka a její koryto).
Někdy přibližně platí pro plyny (jsou stlačitelné).
Obdobné rovnice kontinuity platí například i v elektřině (1. Kirchhoffův zákon).
Rovnice V=S\cdot s je spolehlivá jen pro malé s (mohl by se změnit průměr trubice). Naštěstí rovnice Q_V=S\cdot v je už platná obecně.