Ideální plyn a stavové veličiny

Je nemožné popisovat mechaniku v plynu pomocí miliard pohybových rovnic pro miliardy částic.

Místo tohoto používáme statistický přístup – popisujeme celek pomocí statistických veličin, které popisují celý systém a jeho chování (a které zároveň umíme nějak měřit).

Tyto veličiny můžeme rozdělit na dva typy, stavové a dějové. Obvykle tento plyn (systém) popisujeme v okamžicích rovnovážného stavu, kdy jsou dějové veličiny nulové ty stavové se nemění. Také jsou (obvykle) v celém systému stejné (např. teplota je ve všech místech vyrovnaná).

Stavové veličiny

Popisují stav, ve kterém se systém nachází. Jedna sada hodnot stavových veličin = jeden stav. Na mikroskopické úrovni se rychlosti a polohy částic mění, ale stále jde o stejný makroskopický stav.

Patří sem:

Termodynamická teplota T

Je vlastně průměrnou kinetickou energií chaotického pohybu všech částic. Měří se v Kelvinech. vůči teplotě ve stupních Celsia (t) má jednoduchý vztah.

T=t+273,15\;\mathrm K

Tlak p

I v plynu odpovídá tlak síle působící na jednotku plochy. Plochou je ale stěna nádoby, ve které je plyn držen. Síla pak vzniká odrazy částic od stěny nádoby (síla je definována i jako změna hybnosti za jednotku času). Když se všechny tyto odrazy (za sekundu) sečtou, získáme tlak.

Objem V

Přímo objem plynu.

Látkové množství n

Pro uzavřené systémy (bez výměny látky s okolím) je konstantní.

Dějové veličiny

Popisují proces přechodu od jednoho stavu ke druhému dodáváním/odebíráním energie. Tato energie může být přenášena buď jako práce nebo formou tepla.

Práce W

Mechanická práce kterou buď koná plyn (například posouváním pístu) nebo je na plynu konána (například stlačování plynu).

Obecně platí, že je spojena se změnou objemu. Kousíček práce \delta W odpovídá nepatrné změně objemu \mathrm d V podle \delta W=p\cdot \mathrm d V. Z toho plyne, že práce je rovna ploše pod křivkou děje v pV-diagramu.

• Pokud se nemění tlak: W = p\cdot (V_2-V_1).
• Pokud se nemění objem plynu: W=0.
• V ostatních případech musíme integrovat.

Teplo Q

Tepelná energie přenášená z plynu na okolí, nebo z okolí do plynu.

Záleží na množství faktorů jako je tepelná vodivost stěn, tepelná vodivost plynu, rozdíl teplot plynu a okolí.

Stavová rovnice ideálního plynu

Ideální plyn se řídí stavovou rovnicí

p V =nRT

kde proměnné stavové veličiny jsou tlak p, objem V, teplota T (termodynamická!) a látkové množství n (obvykle ale řešíme uzavřené systémy kde je počet částic a tedy i n konstantní). Posledním členem je univerzální plynová konstanta R\approx8{,}31\;\mathrm{J/mol.K}.

Alternativním zápisem stavové rovnice je p\cdot V = NkT, kde je počet částic N a Boltzmannova konstanta k\approx 1{,}38\cdot 10^{-23}\;\mathrm{J/K}.

Děje v plynech

V plynech může docházet (například vnější silou) k procesům, kdy se mění jednotlivé stavové veličiny. Protože ovšem stále platí stavová rovnice pV=nRT, jsou tyto změny propojeny.

Budeme -li řešit uzavřené systémy (bez změny množství plynu) je n konstantní. Další konstantou je R\approx8{,}31\;\mathrm{J/mol.K}. Zbývají tedy tři veličiny, které se mohou měnit.

V praxi může nastat situace, kdy zůstává jedna z těchto tří veličin konstantní. Pak už máme jenom dvě veličiny a můžeme tak ze změny té první vypočítat změny té druhé nebo naopak.

Děj probíhá za stálého objemu (izochorický)

Prakticky velmi snadno dosažitelný, například plyn uzavřený v pevné nádobě. Pokud si v rovnici obarvíme konstantní členy (včetně objemu) p \color{blue}V\color{black} =\color{blue}nR\color{black}T, uvidíme, že po vydělení obou stran součinem V \cdot T získáme \frac{p}{T}=\color{blue}{\frac{nR}{V}}.

Podíl konstant je ale také konstanta, získáváme tedy vztah pro izochorický děj:

\frac{p}{T}=\mathrm{konst.}

Jde tedy o přímou úměru objemu a teploty. Pokud se např. termodynamická teplota postupně zdvojnásobuje, tlak současně roste také na dvojnásobek. Pro libovolné okamžiky (nebo stavy) 1 a 2 během tohoto děje tedy platí:

\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}

Děj probíhá za stálé teploty (izotermický)

Poněkud těžší na realizaci, například plyn v pohyblivém pístu, udržovaný ohřevem stěn na stálé teplotě. Tedy T je konstantou.

Stejným postupem jako výše získáme ze stavové rovnice vztah

p\cdot V=\mathrm{konst.}

Jde tedy o nepřímou úměru, zvětšení komory na dvojnásobek vede k poklesu tlaku na polovinu. Což vyjadřuje například následující vztah:

p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2

Důležité je, že změny musí probíhat dostatečně pomalu, aby “topení” stíhalo ohřevem/ochlazováním udržovat plyn na stálé teplotě (dodávat/odebírat teplo). Jinak by šlo o jev adiabatický (viz níže)!

Děj probíhá za stálého tlaku (izobarický)

Poněkud těžší na realizaci, například plyn v pohyblivém pístu, udržovaný ohřevem stěn na stálé teplotě. Tedy p je konstantou.

Stejným postupem jako výše získáme ze stavové rovnice vztah

\frac{V}{T}=\mathrm{konst.}

Jde tedy o přímou úměru objemu a teploty. Pokud se objem zdvojnásobí, termodynamická teplota vzroste taky na dvojnásobek:

\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}

Rychlá expanze/komprese plynu (adiabatický děj)

Jde o prakticky významný a i přírodě velmi častý jev (volná expanze plynu například ze spreje, rychlé stlačení nafty v motoru auta, …).

Neexistuje jednoduché odvození vztahu ze stavové rovnice, uvádíme proto přímo:

p\cdot V^\kappa =\mathrm{konst.}

kde \kappa je podíl měrného skup. tepla při stálém objemu a při stálém tlaku \kappa=c_\mathrm p/c_\mathrm V. Pro jednoatomové plyny je tento podíl roven 5/3, pro dvouatomové pak 7/5.

To také znamená:

p_1\cdot V_1^{\kappa}= p_2\cdot V_2^{\kappa}

Teplota není konstantní, při expanzi klesá (také proto deodoranty studí) při stlačení roste (až ke vznícení paliva ve válci diesel motoru).

Zajímavosti

• Pomocí p\cdot V^\kappa =\mathrm{konst.} a stavové rovnice pV=nRT můžeme vyjádřit pro adiabatický děj další vztah p\cdot T^{\frac{\kappa}{1-\kappa}}=\mathrm{konst.}
• Adiabatický děj (a pokles teploty při volném rozpínání) se používá k ochlazení zkapalňovaných plynů.
• Proč máme dvě verze stavové rovnice? Je to možné proto, že R byla definována jako R=k\cdot N_A a n = N/N_A (s Avogadrovou konstantou N_A). Po dosazení těchto výrazů za R a n do původní stavové rovnice p V = nRT získáme právě p V = NkT.