Skvěle, štít %% dosažen
Teplotní roztažnost: vzorce » Rozhodovačka »
Teplotní roztažnost: vzorce
Rozhodovačka
3CV
QR kód
Kód / krátká adresa
Zkopírujte kliknutím.
Nastavení cvičení
Pozor, nastavení je platné pouze pro toto cvičení a předmět.
Teplotní roztažnost: vzorce
Změny teplot ovlivňují rozměry a objem těles. To může být docela důležité, pokud například nechceme, aby rozpínající se most roztrhal silnici. Naštěstí to umíme počítat pomocí vzorců délkové nebo objemové roztažnosti.
Délková roztažnost
Platí pro každý rozměr, ale nejdůležitější pro tělesa, u nichž jeden rozměr výrazně převažuje nad zbývajícími dvěma (drát, koleje, mosty, apod.). Určuje změnu rozměru závislou na počáteční délce a změně teploty:
l = l_0\left[1+\alpha (t-t_0)\right]
- l_0 – (počáteční) délka při teplotě t_0
- l – délka při teplotě t
- \alpha – teplotní součinitel délkové roztažnosti (závisí na materiálu)
Pokud označíme rozdíl teplot t-t_0 jako \Delta t, můžeme psát:
l = l_0\left(1+\alpha \Delta t\right)
Výslednou délku l můžeme rozdělit na l_0 a prodloužení \Delta l, tedy l = l_0 + \Delta l. Pak platí:
\Delta l = l_0 \alpha (t-t_0).
Teplotní součinitel délkové roztažnosti \alpha
- Konstanta materiálu.
- Udává, o kolik se prodlouží těleso o délce 1 m při ohřátí/ochlazení o 1 ˚C (1 K).
- Jednotka je K^{-1}, příp. ^\circC^{-1}.
- Hodnota je \ll 1.
Příklad: Prodloužení měděného drátu
- Teplotní součinitel roztažnosti mědi je 0,000 017 K^{-1} (°C^{-1} ).
- Drát má délku 50 metrů
- O kolik se prodlouží při rozdílu teplot 10 °C?
- K výpočtu využijeme vzorec \Delta l = l_0 \alpha \Delta t
- Dosadíme zadané hodnoty \Delta l = 50\cdot 0,000 017\cdot 10\, \mathrm{m} = 5 \cdot 0,0017 \,\mathrm{m} = 0,0085 \,\mathrm{m} = 8,5 \,\mathrm{mm}
Proč má být \alpha \ll 1
- Co by se stalo, kdyby \alpha = 2?
- Představme si drát o délce 100 metrů.
- O kolik by se prodloužil při ohřátí o 10 °C (K)?
- K výpočtu využijeme vzorec \Delta l = l_0 \alpha \Delta t.
- Dosadíme zadané hodnoty \Delta l = 100\cdot 2\cdot 10\,\mathrm{m} = 2000\,\mathrm{m}.
- Drát by se prodloužil ze 100 metrů na 2 kilometry jen při ohřátí o 10 °C (K)!
Jiné teplotní stupnice
S teplotami se můžeme setkat jak ve stupních Celsia t, tak v kelvinech T (výjimečně ve stupních Fahrenheita \tau). Platí:
\Delta t = \Delta T
\Delta t = \frac{5}{9}\Delta \tau
Objemová roztažnost
Udává, jak se při změně teploty mění objem. Je tedy relevantní i pro kapaliny, pro které není důležitá délková roztažnost.
V = V_0\left[1+\beta (t-t_0)\right] = V_0\left(1+\beta \Delta t\right)
- V_0 – objem při teplotě t_0
- V – objem při teplotě t
- \beta – teplotní součinitel objemové roztažnosti (závisí na materiálu)
Teplotní součinitel objemové roztažnosti \beta
- Konstanta materiálu.
- Udává, o kolik se změní objem tělesa o objemu 1 m^3 při ohřátí/ochlazení o 1 ˚C (1 K).
- Jednotka je opět K^{-1}, příp. ^\circC^{-1}.
- Hodnota \ll 1.
- Přibližně platí \beta \approx 3\alpha.
Délková vs. objemová roztažnost
- Na obrázku máme dvě tělesa o stejném objemu, ale různých rozměrech, bude jejich teplotní délková/objemová roztažnost stejná?
- Délková roztažnost:
Změna výšky prvního tělesa \Delta l_1 = a\alpha\Delta T
Změna výšky druhého tělesa: \Delta l_2 = 2a\alpha\Delta T - Objemová roztažnost
Změna objemu prvního tělesa: \Delta V_1 = V_0\beta\Delta T
Změna objemu druhého tělesa: \Delta V_2 = V_0\beta\Delta T - Změny rozměrů se liší, ale změny objemů jsou stejné.
Hustota a objemová roztažnost
Protože se hmotnost tělesa typicky nemění, dá se odvodit z V=V_0\left(1+\beta \Delta t\right) i přibližný vzorec pro hustotu:
\rho=\rho_0\left(1-\beta \Delta t\right)
Takže když objem vzroste, hustota klesá.
Teplotní roztažnost: vzorce (střední)
Nyní se mohou opakovat už vyřešená zadání.