Čeština
Matematika
Angličtina
Informatika
Biologie
Umíme to
Němčina
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Jednotky a veličiny
Stavba a vlastnosti látek
Mechanika
Elektřina a magnetismus
Optika
Vesmír
Rozhodovačka
Otázky
Pexeso
Přesouvání
Poznávačka
Krok po kroku
Vpisování
Porozumění
Příběhy
Týmovka
Závody
Rychlost, dráha, čas
Rychlost, dráha, čas
Vztah mezi rovnoměrnou (nebo alespoň průměrnou) rychlostí v drahou s a časem pohybu t popisují vzorce:
v=\frac{s}{t}
s=v\cdot t
t=\frac{s}{v}
V ideálním případě pouze určíme správný vzorec a dosadíme.
U mnoha pohybů těles ovšem před dosazením musíme udělat něco navíc (převést správně jednotky, určit s ze změny poloh, …).
Konečně můžeme pomocí těchto vztahů také řešit vzájemný pohyb více těles.
Vztahový trojúhelník (pyramida)
Pokud známe nějaký vzorec typu \bf{A=B\cdot C} nebo \bf{A=B/C} (například v=s/t) můžeme pomocí jednoduché pomůcky zjistit, jak vypadají vzorce pro \bf{B} a pro \bf{C}.
- Nakreslíme si trojúhelníkovou pyramidu (zatím prázdnou).
- Zakreslíme do ní pravou stranu rovnice (naše s/t), tak aby vypadala graficky stejně jako ve vzorci (dělení jako zlomek nad sebou, případně násobení vedle sebe v dolním patře).
- Na zbývající místo doplníme levou stranu vzorce.
- Nyní stačí pro výpočet jakékoliv veličiny zakrýt tuto veličinu prstem a podívat se jak vypadají ostatní nezakryté.
Rychlost, dráha, čas: vzorce
Definice rychlosti v je dráha s za čas t. Matematicky zapsáno je to
v=\frac{s}{t}
jde vlastně o rychlost průměrnou, ale v případě rovnoměrného pohybu i o okamžitou rychlost po celou dobu pohybu.
Můžeme počítat i s a t (vždy když známe zbývající dvě veličiny). Matematickou úpravou, resp. použitím vztahového trojúhelníku jsme odvodili vztahy pro dráhu
s=v\cdot t
a pro čas
t=\frac{s}{v}.
Dráha Tarzana
- Tarzan na liáně letí rychlostí 12 m/s po dobu 5 s než se rozplácne o strom. Jakou dráhu uletěl?
- Hledáme s a známe v a t. Použijeme tedy vzorec s=v\cdot t.
- Dosadíme za v a t.
- s=12 \cdot 5\,\mathrm m=60\,\mathrm m
- Tarzan se rozplácl po 60 m.
Rychlost auta
- Auto ujelo 200 km za 4 h. Jakou udržovalo rychlost?
- Hledáme v a známe s a t. Použijeme tedy vzorec v=\frac{s}{t}
- Dosadíme do něj za s a t.
- v=\frac{200}{4}\,\mathrm {km/h}=50\,\mathrm {km/h}
- Auto udržovalo rychlost 50 km/h.
Letové hodiny stíhačky
- Stíhačka přeletěla 800 km rychlostí 1600 km/h. Jak dlouho letěla?
- Hledáme t a známe s a v. Použijeme tedy vzorec t=\frac{s}{v}
- Dosadíme do něj za s a v.
- t=\frac{750}{1500}\,\mathrm h=0{,}5\,\mathrm h
- Stíhačka letěla půl hodiny.
Rychlost, dráha, čas: pohyb tělesa
Ne vždy můžeme ihned dosadit do vzorců jako s=v\cdot t. Musíme totiž nejprve vyřešit drobné komplikace:
- Jednotky nesedí. Musíme převést na stejné jednotky, nebo alespoň tak abychom nekombinovali různé časové škály (např km/h se sekundami)
Autobus
- Autobus jel 15 minut rychlostí 40 km/h. Kolik toho ujel?
- V jednotce rychlosti jsou hodiny zatímco čas je v minutách. Musíme tedy převádět.
- Mohli bychom převádět na m/s a sekundy, ale bylo by to pracné.
- Lepší je převést čas na hodiny (výsledek vyjde v km).
- 15 minut → 0,25 h
- Konečně můžeme dosadit do s=v\cdot t.
- s=40\cdot 0{,}25 \,\mathrm{km} = 10\,\mathrm{km}
- Dráhy/časy složené z více částí. Celková dráha pohybu s je prostě součtem drah všech úseků s=s_1+s_2+\cdots. Totéž platí pro čas t=t_1+t_2+\cdots.
Triatlon
- Triatlonista zvládl závod za 2h. Přitom ujel 40 km na kole, 10 km běžel a 1,5 km plaval. Jakou měl průměrnou rychlost během celého závodu?
- Použijeme vzorec v=\frac{s}{t}, ale přímo známe jen čas t. Potřebujeme s.
- Celková dráha s je podle s=s_1+s_2+s_3
- Číselně s=40+10+1{,}5\,\mathrm {km}= 51{,}5\,\mathrm {km}.
- Už můžeme dosazovat v=\frac{51{,}5}{2}\,\mathrm {km/h}=25{,}75\,\mathrm {km/h}
Pro rychlost to ale neplatí! Průměrná rychlost více úseků dohromady se musí počítat jako v=\frac{s_1+s_2+\cdots}{t_1+t_2+\cdots}.
- Místo dráhy/času známe jen hodnoty na začátku a na konci. Neznáme dráhu přímo, ale známe polohy na trati na začátku a na konci pohybu. Podobně může být potřeba určit dobu pohybu t jako rozdíl časů (na hodinách) v okamžiku startu a cíle.
Sjezdy na dálnici
- Na dálnici jsme najeli nájezdem na 20. km a opustili ji sjezdem na 200. km. Jak dlouho jsme na ní strávili s rychlostí 90 km/h?
- Hledáme t. Přímo známe ale jen v.
- Dráhu s musíme určit jako rozdíl poloh na začátku a na konci.
- s=200-20\,\mathrm{km}=180\,\mathrm{km}
- Teprve nyní můžeme dosadit do t=\frac{s}{v}.
- t=\frac{180}{90}\,\mathrm{h}=2\,\mathrm{h}
Rychlost, dráha, čas: vzájemný pohyb těles
Pokud se pohybuje více těles, můžeme zkoumat jejich vzájemný pohyb.
Vzájemná rychlost dvou těles (těleso 1 a těleso 2) je rozdílem jejich rychlostí. Pokud budeme jednotlivé rychlosti značit indexy, můžeme pro vzájemnou rychlost použít v.
v=v_1-v_2
(pokud je důležitý směr a pokud rozlišujeme, zda jde o rychlost 1. tělesa vůči 2. nebo naopak, používá se také v_{12} resp v_{21})
Pokud se k sobě tělesa přibližují, určuje vzorec t=\frac{s}{v} čas setkání – dosazujeme do něj právě vzájemnou rychlost a počáteční vzdálenost těles (i pro tu používáme přímo písmeno s protože pro dráhy jednotlivých těles pravděpodobně použijeme s_1 a s_2).
Dráhy jednotlivých těles a místo setkání je možné poté dopočítat, když dosadíme do vzorce pohybu jednotlivých těles vypočtený čas setkání t (např. s_1=v_1\cdot t, nebo s_2=v_2\cdot t).
