Mechanika kapalin a plynů

Důležitou roli v mechanice kapalin a plynů hraje tlak. Obecně tento tlak můžeme rozdělit na

1. tlak vyvolaný (gravitační) tíhou samotné tekutiny (hydrostatický tlak u kapalin a atmosférický tlak u plynů)

2. tlak vyvolaný působením vnější síly na tekutinu v uzavřené nádobě (popisuje Pascalův zákon).

Celkový, nebo také absolutní tlak je pak součtem těchto dílčích tlaků.

1. Tlak vyvolaný tíhou tekutiny

Pokud něco neseme na hlavě, například těžký klobouk, cítíme jak na nás působí jeho tíha (neseme jej). Pokud si ale stoupneme my na klobouk (nezkoušejte!), jeho tíhu necítíme.

Podobně působí na tělesa ponořená v tekutině i tíha této tekutiny. A stejně jako v analogii s kloboukem je rozhodující jen ta část tekutiny, která se nachází nad tělesem. Projevem takového působení je tedy tlak tekutiny, který bude tím větší čím hlouběji je těleso ponořeno (tlačí větší sloupec tekutiny).

2. Tlak vyvolaný působením vnější sily

Je určen silou F a plochou S (například pístu), na kterou tato síla působí. Přenáší se do celého objemu kapaliny a je v celém tomto objemu stejný.

Toho využívají hydraulická zařízení, která fungují podobně jako jednoduché stroje. Pomocí různě velkých pístů převádíme sílu, takže například dokážeme sami zvednout auto (hydraulický zvedák).

U kapalin je projevem jejího tíhového působení hydrostatický tlak. Jeho působením na plochu je hydrostatická tlaková síla.

Hydrostatický tlak značíme p_\mathrm h a závisí na hloubce pod hladinou h, přitažlivosti planety (tíhové zrychlení g) a na tom, o jak těžkou kapalinu jde (hustota \rho). Je to přímo součin:

p_\mathrm h=h\rho g

Hlavní rozdíl vůči tlaku vyvolanému vnější silou je ten, že není v celém objemu kapaliny stejný (roste s hloubkou).

Podle známé definice tlaku jako síly na plochu (p=F/S) můžeme odvodit i vzorec pro sílu vyvolanou hydrostatickým tlakem (působící na plochu S).

Do vzorce F=p\cdot S stačí jen dosadit hydrostatický tlak p_\mathrm h:

F= S h\rho g

Základní znění

Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou. Její velikost se rovná velikosti tíhy kapaliny stejného objemu, jako je objem ponořené části tělesa.

Platí jak pro kapaliny, tak pro plyny. Velikost vztlakové síly (F_\mathrm{vz}) je v plynech výrazně menší než v kapalinách kvůli jejich nižším hustotám.

F_{\mathrm{vz}} = V_{\mathrm{pod}} \cdot \rho_{\mathrm K} \cdot g

kde je g velikost tíhového zrychlení, V_{\mathrm {pod}} objem ponořené části tělesa a \rho_{\mathrm K} hustota kapaliny (případně plynu).

Těleso plovoucí po vodní hladině

Pro těleso plovoucí po hladině lze odvodit vztah mezi hustotami tělesa a kapaliny:

\frac{V_{\mathrm {pod}}}{V_{\mathrm {nad}} + V_{\mathrm {pod}}} = \frac{\rho_{\mathrm T}}{\rho_{\mathrm K}}

(\rho_{\mathrm T} je hustota tělesa, \rho_{\mathrm K} je hustota kapaliny, V_{\mathrm {pod}} je objem ponořené části tělesa a V_{\mathrm {nad}} + V_{\mathrm {pod}} = V je celkový objem tělesa.)

Příklady a využití Archimédova zákona

Archimédův zákon se uplatňuje v plynném prostředí, ale zejména v kapalném prostředí. Díky Archimédovu zákonu létají pouťové balonky i vzducholodě, na moři se nepotopí lodě, ponorky a ryby mohou ovlivňovat svůj pohyb ve vertikálním směru.

Pro tíhové působení plynů naší (nebo jiné) atmosféry definujeme atmosférický tlak. Princip je podobný jako u hydrostatického tlaku. I atmosférický tlak závisí na přitažlivosti (tíhovém zrychlení g), výšce atmosféry a její hustotě. Nemůžeme ale jednoduše použít stejný vzorec jako pro hydrostatický tlak, protože hustota plynu \rho není konstantní, výška atmosféry není jasně ohraničená a dokonce i g není v 60km výšce stejné u hladiny moře.

Platí alespoň, že čím výše se nacházíme, tím nižší atmosférický tlak tam bude (menší část vzduchového sloupce nad námi). Rozdíly se ale projeví až na větších výškových rozdílech, i kvůli malé hustotě vzduchu \rho\approx 1{,}2\,\mathrm{kg/m^3}.

U hladiny moře počítáme s tlakem kolem 100 000 Pa. Standardní hodnota je stanovena na 101 325 Pa. Znamená to také, že podle F=p\cdot S nám na 1 m² kůže působí síla 101 325 N. Naštěstí stejná síla působí i zevnitř těla (např. plíce), takže nejsme slisováni do malých masových kuliček.

Kromě pascalů se používají jednotky jako bar (1 bar = 100 000 Pa), atmosféra (1 atm. = 101 325 Pa) Často se atmosférický tlak také uvádí v neobvyklém násobku –⁠ hektopascalech (hPa).

Rozdíly v atmosférickém tlaku z velké části tvoří počasí (tlakové výše a níže, přesun vzduchu mezi nimi a vznik větru).

Pomocí Bernoulliho rovnice (\frac{1}{2}\rho v_1^2+p_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2+p_2) můžeme odvodit rychlost tryskání vody z (malého) otvoru v nějaké nádobě.

Zevnitř (index 1) je rychlost prakticky nulová a vně (index 2) je zase nulový tlak (pokud od obou stran odečteme atmosférický tlak). Po dosazení těchto nul do rovnice výše dostaneme p_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2.

Tlak p_1 je vlastně hydrostatický tlak v nádobě (h\rho g) a rychlost zůstala jen jedna, nemusíme ji tedy indexovat. Máme h\rho g=\frac{1}{2}\rho v^2, z čehož vyjádříme rychlost:

v = \sqrt{2 h g}

U proudění tekutin definujeme tzv. objemový průtok Q_V. Je to objem tekutiny, který proteče trubkou za jednotku času. Jednotkou je tedy m³/s a platí:

Q_V=\frac{V}{t}

Objem V je ale roven součinu průřezu trubice S a posunu kapaliny o dráhu s. Po dosazení máme Q_V=\frac{S\cdot s}{t}.

Víme přitom, že \frac{s}{t} je klasická definice rychlosti, tedy i rychlosti proudění v. Pak můžeme průtok zapsat ekvivalentní rovnicí:

Q_V=S\cdot v

Protože jsou kapaliny nestlačitelné, musí být průtok Q_V v uzavřeném plném potrubí všude stejný (jinak by se někde musela hromadit).

Pokud tedy porovnáme dvě místa (Q_{V{,}1}=Q_{V{,}2}) a dosadíme za jednotlivé průtoky, vznikne známý vzorec rovnice kontinuity:

S_1\cdot v_1=S_2\cdot v_2

Bernoulliho rovnice popisuje souvislost mezi tlakem p v kapalině (o hustotě \rho) a rychlostí jejího proudění v. Podél jedné proudnice platí:

\frac{1}{2}\rho v^2+p = \mathrm{konst.}

Pro dvě místa na téže proudnici tedy platí (pro konstantní hustotu)

\frac{1}{2}\rho v_1^2+p_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2+p_2

Pro jednoduchost obvykle definujeme Bernoulliho rovnici pro vodorovnou uzavřenou trubku.

Bernoulliho rovnice vlastně říká, že zvýšením rychlosti proudění poklesne tlak. Tento princip platí i pro libovolné neturbulentní proudění kapaliny nebo plynu. Matematický vzorec sice v takovém případě neplatí přesně, ale jako odhad se hodí.

Tohoto principu se využívá v řadě případů, kde chceme vůči okolnímu prostředí vytvořit podtlak (fixírka, některé typy vývěv, profil křídla letadel, …).

Definice

Tlak (značíme p) je veličina popisující deformační (ne pohybové) účinky síly na těleso. Je definován pomocí tlakové síly \vec F působící kolmo na určitou plochu S.

p = \frac{F}{S}

Úpravou rovnic (nebo pomocí vztahového trojúhelníku níže) můžeme odvodit další vztahy

F = p \cdot S

S = \frac{F}{p}

Jednotky

Jednotkou je (jak ze vztahu p = F/S vyplývá) newton na metr čtvereční (N/m²). Tato jednotka dostala také vlastní název – pascal.

Typicky se setkáváme se silami v jednotkách až stovkách newtonů působícími na plochy mnohem menší než je metr čtvereční. Proto se kolem nás setkáváme nejčastěji s tlaky v tisících, ne-li milionech pascalů.

Pozn.: Ne vždy lze jednoduše znázornit tlakovou sílu s působištěm v místě doteku (např. více končetin). Proto v některých příkladech používáme k ilustraci i tíhovou sílu s působištěm v těžišti. Má totiž stejnou velikost jako tlaková síla, kterou vyvolává.