Kinematika (popis pohybu)

Je částí mechaniky, jejímž úkolem je popsat pohyb. Popisovat můžeme pohyb jednotlivých objektů, pohyb souboru objektů, pohyb tekutin a tak dále. V první části se ovšem převážně zaměřujeme na popis pohybu pevných těles.

Kinematika se nesnaží pohyb vysvětlit (proč se něco hýbe), to je podstatou dynamiky. Kinematika se jen ptá, jak se objekty pohybují prostorem:

Rovně?
Do zatáčky?
Stále stejně?
Čím dál tím rychleji?

V mechanice se pohybují především různé objekty, tzv. tělesa. Často je zjednodušujeme na hmotné body (neuvažujeme rozměry a rotaci tělesa, jen hmotnost).

Křivku vykreslující kudy pohyb procházel nazýváme trajektorie. Její délka se nazývá dráha.

Popisovat pohyb můžeme z několika úhlů pohledu:

Jak se na pohyb díváme?

Pohyb musíme popisovat vůči něčemu. Proto zavádíme vztažné soustavy, tedy body vůči kterým poměřujeme svět a změny v něm. Obvykle je vztažná soustava určena počátečním bodem a souřadnicovými osami. Z různých vztažných soustav bude stejný pohyb vypadat jinak:

Speciálním případem je inerciální vztažná soustava, která nezrychluje a nezatáčí (nepociťujeme v ní setrvačné síly jako např. v brzdícím autobuse). Inerciální soustavy se vůči sobě pohybují stále stejným směrem a stejně rychle.

Jak pohyb vypadá?

Podle tvaru trajektorie rozdělujeme pohyby na přímočaré (pohybuje se stále rovně) a křivočaré (zatáčí).

U těles také rozlišujeme, jestli se někam posouvá, nebo se točí. Nebo obojí. Porovnáním trajektorií jednotlivých bodů tělesa tedy rozlišíme pohyb posuvný (translační) a otáčivý (rotační), případně složený.

Jak pohyb probíhá?

Z tvaru trajektorie zjistíme kudy se někdo pohyboval, ale už ne jak rychle. Stejnou zatáčku na polní cestě může opsat šnek i auto. Veličinou, která tyto pohyby odlišuje, je rychlost. Značíme ji v a je rovna dráze dělené časem t. Je buď průměrná (tedy podíl dráhy a času za nějakou dlouhou dobu) nebo okamžitá (změny dráhy za malou změnu času).

Pokud je rychlost stále stejně velká, mluvíme o rovnoměrném pohybu. Pokud se mění, jde o pohyb nerovnoměrný.

Jaký je tedy pohyb?

Výše zmíněné vlastnosti pohybu se různě kombinují, můžeme mít posuvný pohyb rovnoměrný a přímočarý, posuvný pohyb nerovnoměrný a přímočarý, rovnoměrný otáčivý pohyb a tak dále.

Vztah mezi rovnoměrnou (nebo alespoň průměrnou) rychlostí v drahou s a časem pohybu t popisují vzorce:

v=\frac{s}{t}

s=v\cdot t

t=\frac{s}{v}

V ideálním případě pouze určíme správný vzorec a dosadíme.

U mnoha pohybů těles ovšem před dosazením musíme udělat něco navíc (převést správně jednotky, určit s ze změny poloh, …).

Konečně můžeme pomocí těchto vztahů také řešit vzájemný pohyb více těles.

Definice rychlosti v je dráha s za čas t. Matematicky zapsáno je to

v=\frac{s}{t}

jde vlastně o rychlost průměrnou, ale v případě rovnoměrného pohybu i o okamžitou rychlost po celou dobu pohybu.

Můžeme počítat i s a t (vždy když známe zbývající dvě veličiny). Matematickou úpravou, resp. použitím vztahového trojúhelníku jsme odvodili vztahy pro dráhu

s=v\cdot t

a pro čas

t=\frac{s}{v}.

Ne vždy můžeme ihned dosadit do vzorců jako s=v\cdot t. Musíme totiž nejprve vyřešit drobné komplikace:

1. Jednotky nesedí. Musíme převést na stejné jednotky, nebo alespoň tak abychom nekombinovali různé časové škály (např km/h se sekundami)

2. Dráhy/časy složené z více částí. Celková dráha pohybu s je prostě součtem drah všech úseků s=s_1+s_2+\cdots. Totéž platí pro čas t=t_1+t_2+\cdots.

Pro rychlost to ale neplatí! Průměrná rychlost více úseků dohromady se musí počítat jako v=\frac{s_1+s_2+\cdots}{t_1+t_2+\cdots}.

3. Místo dráhy/času známe jen hodnoty na začátku a na konci. Neznáme dráhu přímo, ale známe polohy na trati na začátku a na konci pohybu. Podobně může být potřeba určit dobu pohybu t jako rozdíl časů (na hodinách) v okamžiku startu a cíle.

Pokud se pohybuje více těles, můžeme zkoumat jejich vzájemný pohyb.

Vzájemná rychlost dvou těles (těleso 1 a těleso 2) je rozdílem jejich rychlostí. Pokud budeme jednotlivé rychlosti značit indexy, můžeme pro vzájemnou rychlost použít v.

v=v_1-v_2

(pokud je důležitý směr a pokud rozlišujeme, zda jde o rychlost 1. tělesa vůči 2. nebo naopak, používá se také v_{12} resp v_{21})

Pokud se k sobě tělesa přibližují, určuje vzorec t=\frac{s}{v} čas setkání – dosazujeme do něj právě vzájemnou rychlost a počáteční vzdálenost těles (i pro tu používáme přímo písmeno s protože pro dráhy jednotlivých těles pravděpodobně použijeme s_1 a s_2).

Dráhy jednotlivých těles a místo setkání je možné poté dopočítat, když dosadíme do vzorce pohybu jednotlivých těles vypočtený čas setkání t (např. s_1=v_1\cdot t, nebo s_2=v_2\cdot t).

Pohyb dělíme na rovnoměrný a nerovnoměrný podle toho, jestli se mění velikost rychlosti. U tohoto dělení naopak nezáleží na tom, jestli se mění směr pohybu (směr rychlosti).

• rovnoměrný pohyb = velikost rychlosti je stále stejná, zrychlení je nulové, nebo kolmé na směr pohybu (pohyb po kružnici)

• nerovnoměrný pohyb = velikost rychlosti se mění, zrychlení není nulové

Pokud se rychlost pohybu mění, charakterizuje tyto změny veličina jménem zrychlení. Značíme jej a a je to změna rychlosti za změnu času.

a=\frac{\Delta v}{ \Delta t }

Jednotkou zrychlení je \mathrm{m/s^2}.

Zejména v kinematice můžeme zrychlení brát jako změnu velikosti rychlosti. Pokud je stále stejné, jde o pohyb rovnoměrně zrychlený nebo pohyb rovnoměrně zpomalený.

Pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí:

v=v_0+a\cdot t nebo jednodušeji v=a\cdot t (pokud je počáteční rychlost v_0 nulová)

Vztah pro dráhu je pak:

s=v_0t+\frac{1}{2}a t^2 nebo jednodušeji s=\frac{1}{2}a t^2 (pokud je počáteční rychlost v_0 nulová)

V případě rovnoměrně zpomaleného pohybu (rychlost se rovnoměrně snižuje), používáme obvykle vztahy v=v_0-a\cdot t pro rychlost a s=v_0t-\frac{1}{2}a t^2 pro dráhu.
Zjednodušené vztahy (v_0=0) v tomto případě nemají smysl, protože musíme mít z čeho zpomalovat.

Je i alternativa používat pro zpomalený pohyb stejné vztahy jako pro pohyb zrychlený a dosazovat záporné hodnoty zrychlení a. V následujících cvičeních ale není použita.

Přesnější definice zrychlení je změna vektoru rychlosti za změnu času.

\vec a=\frac{\Delta \vec v}{ \Delta \vec t }

Zrychlení je podle této definice nenulové i u rovnoměrného pohybu po kružnici a každého křivočarého pohybu (mění se směr vektoru rychlosti).

Podívejme se na graf rovnoměrného pohybu:

Plocha pod křivkou rychlosti má obsah v\cdot t (obsah obdélníka) což je přesně rovno dráze pohybu rovnoměrného. To platí obecně – obsah plochy pod křivkou rychlosti v grafu v/t je roven dráze.

U rovnoměrně zrychleného pohybu (konstantní a) nejde o obdélník, plocha je ale stejná jako plocha obdélníka o výšce průměrné rychlosti \bar v (plocha △ a △ je totiž stejná).

Dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu počítáme v různých situacích:

Pohyb začíná z klidu

Pro rychlost platí v=a\cdot t (přímá úměra). Dráha (obsah pod křivkou) je rovna:

s=\frac{1}{2}at^2

Těleso se už pohybuje rychlostí v_0 a zrychluje

S nenulovou v_0 máme rychlost v=v_0+a\cdot t. Pak je dráha rovna součtu:

s=v_0\cdot t + \frac{1}{2}at^2

I to můžeme vyčíst z grafu (celková plocha = součet ▯ v_0\cdot t a △ \frac{1}{2}at^2):

Těleso se už pohybuje rychlostí v_0 a zpomaluje

Platí totéž co předchozím bodě, jen obsah △ odečítáme.

s=v_0\cdot t -\frac{1}{2}at^2

Klasická mechanika popisuje 4 vrhy/pády. Volný pád, vrh svislý, vrh vodorovný a vrh šikmý.

Rozpoznáme je podle trajektorie a rychlosti v:

Trajektorie

• vrh svislý a volný pád → rovná (část přímky)
• vrh vodorovný a vrh šikmý → zakřivená (část paraboly)

U vodorovného vrhu a volného pádu navíc trajektorie začíná nejvyšším bodem.

Rychlost

• volný pád → počáteční úplně nulová, pak svisle směrem dolů
• vrh svislý → počáteční svislý směr, v průběhu svislý směr nebo nulová
• vrh vodorovný → počáteční vodorovný směr, pak vždy šikmo dolů
• vrh šikmý → počáteční šikmý směr, v průběhu i vodorovný (na vrcholu)

V průběhu všech vrhů se vodorovná složka rychlosti (obvykle značená v_\mathrm x) nemění, svislá (v_\mathrm y) ale ano.

Matematicky: vodorovný směr rychlosti znamená v_\mathrm y = 0, svislý směr rychlosti znamená v_\mathrm x=0.

Několik veličin a vlastností, které se pojí s vrhy:

Obecné vlastnosti

• zanedbáváme odpor vzduchu (jinak by byly výpočty mnohem komplikovanější)
• trajektorií je část paraboly nebo úsečka (u vrhu svislého a volného pádu)
• pro popis volíme obvykle dvě souřadnice x (vodorovná) a y (svislá), vrh totiž probíhá v rovině

Veličiny

Rychlost na počátku značíme v_0, v průběhu vrhu pak v. Rychlost dopadu pak v_\mathrm d.

• můžeme je rozložit na vodorovnou a svislou složku (v_\mathrm{0x}, v_\mathrm{0y}, v_\mathrm{x}, v_\mathrm{y}, v_\mathrm{dx} nebo v_\mathrm{dy})
• vodorovná složka se nemění (v_\mathrm{x}=v_\mathrm{0x})
• u vrhu šikmého jsou rychlosti ve stejných výškách stejně velké a svírají stejný úhel s vodorovným směrem (jen v_y se otočí směrem dolů)

Polohu tělesa popisují právě souřadnice x a y

• protože je v_\mathrm{x}=v_\mathrm{0x}, probíhá v souřadnici x rovnoměrný pohyb
• souřadnice y se mění nerovnoměrně – jde vlastně o rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g

Čas dopadu se značí obvykle t_\mathrm d a jde o dobu od začátku vrhu do dopadu. Závisí vždy na v_\mathrm{0y} a často na počáteční svislé poloze y_0 (respektive výšce nad zemí h).

Volný pád znamená, že těleso padá z klidu z počáteční nenulové výšky. Protože je v_0 nula a protože v_\mathrm x se u vrhů nemění, bude v_\mathrm x vždy nulová. Pak není rozdíl mezi svislou rychlostí v_\mathrm y a celkovou rychlostí v, dále tedy mluvíme jen o v.

Pohyb tedy probíhá pouze ve svislém směru a popisuje jej jen souřadnice y. Počáteční svislou polohu y_0 většinou značíme také jako výšku pádu h.

Jde o rovnoměrně zrychlený pohyb se zrychlením g a počáteční rychlostí v_\mathrm {0}=0 (viz výše). V čase t je tedy rychlost rovna g\cdot t a dráha rovna \frac{1}{2}gt^2.

Většinou nás zajímá čas dopadu t_\mathrm d. Můžeme jej vyjádřit z výšky h, protože čase t_\mathrm d musí být dráha rovna právě celé této výšce. Platí tedy rovnice h=\frac{1}{2}gt_\mathrm{d}^2 a úpravou platí i:

t_\mathrm{d}=\sqrt{\frac{2h}{g}}

Nyní můžeme z výšky h vyjádřit i rychlost dopadu v_\mathrm {d}=g\cdot t_\mathrm d. Pokud totiž za t_\mathrm d dosadíme \sqrt{\frac{2h}{g}}, dostaneme v_\mathrm {d}=g\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}, po úpravě:

v_\mathrm {d}=\sqrt{2hg}

Z nepřímočarých pohybů je nejdůležitější rovnoměrný pohyb po kružnici. Popisuje situace jako točení na kolotoči, prádlo v bubnu ždímačky nebo otáčení planety Země. Přibližně odpovídá i řadě složitějších situací (např. pohyb v trolejbusu v zatáčce).

Tedy trajektorií je kružnice. Rychlost v je tečnou k trajektorii (i proto se nazývá obvodová) a má konstantní velikost, mění se ale směr. Zrychlení (které právě popisuje změny směru rychlosti) směřuje do středu kružnice. Říká se mu proto dostředivé a značíme jej a_\mathrm d. Má velikost:

a_\mathrm d=\frac{v^2}{r}

Často nás nezajímá, jak rychle se pohybujeme, ale jak rychle se otáčíme dokola (úhel za jednotku času). Proto definujeme úhlovou rychlost \omega. Pro rovnoměrný pohyb po kružnici je \omega konstantní a úhel otočení \varphi je přímo úměrný času.

Platí vztahy jako \omega=\frac{v}{r} resp. v=\omega\cdot r. Po dosazení za v tak můžeme dostat alternativní vztah pro a_\mathrm d:

a_\mathrm d=\omega^2\cdot r