Zápis čísel a jednotek

Přejít ke cvičením na toto téma »

Fyzikální veličina je zapsána svojí hodnotou a jednotkou. Jednotka slouží k nastavení poměřování velikostí různých hodnot tak, že odpovídá hodnotě 1.

Příklad

Délka d je 15 cm

  • hodnota je 15
  • jednotka je centimetr (cm)
  • centimetr je určitá velikost v reálném světě, proti které je délka d 15násobná

Zápis jednotky

Jednotku zapisujeme buď jejím názvem (metr, gram, newton, hertz, …), nebo (zejména ve výpočtech) příslušnou zkratkou (m, g, N, Hz, …).

Pokud má základní jednotka velikost hodně mimo to, co měříme (např. jednotka je metr a chceme měřit tloušťku vlasu), používáme násobky jednotek:

Celou jednotku pak tvoří předpona spojená s názvem jednotky (milimetr, kilogram, megahertz, …), v případě zkratky písmeno předpony spojené se zkratkou jednotky (mm, kg, MHz, …).

Zápis hodnoty

Hodnotu veličiny zapisujeme tak, jako čísla v matematice:

  • desetinné číslo (nejběžnější)
  • zlomek (může se hodit, ale ve fyzice spíš nepoužíváme)
  • složené číslo (ve fyzice téměř nikdy)
  • exponenciální tvar (výhodný u velkých/malých čísel a větších výpočtů)

Exponenciální (mocninný) tvar se tvoří rozdělením čísla na součin čísla mezi 1 a 10 a odpovídající mocniny deseti. Např.: 0,02 je 2 ⋅ 10⁻².

Příklady

  • 1,25 (desetinný) = 5/4 (zlomek) = 1 a 1/4 (složené) = 1,25 ⋅ 10⁰ (exp)
  • 64 000 (desetinný) = 6,4 ⋅ 10⁴ (exp)
  • 0,000 000 89 (desetinný) = 8,9 ⋅ 10⁻⁷ (exp)

Pokud chceme veličinu převést na jinou jednotku (jiný násobek), mění se i číselná hodnota veličiny (protože vyjadřuje kolikrát je tato veličina větší než jedna jednotka).

Pokud přecházíme na vyjádření v menší jednotce (např. z metrů na milimetry), musí se hodnota zvětšit. Tolikrát, kolikrát je nová jednotka menší. A naopak.

Přehled poměrů mezi jednotlivými násobky základních jednotek:

Příklad převodu hmotnosti

Hmotnost m je 1500 g. Převádíme na kg.

  • kg je 1000krát větší jednotka než mg
  • hodnota se proto 1000krát zmenší
  • po převedení máme 1,5 kg

Jednotky s mocninami

Pro převody jednotek s mocninami platí, že poměr v tabulce výše se násobí tolikrát, kolikátou mocninu jednotky máme.

Příklad s plošnými jednotkami

Plocha S je 3 m². Převádíme na cm².

  • cm je 100krát menší jednotka než m
  • jednotky jsou ve druhé mocnině (m²)
  • cm² je tedy (100⋅100)krát menší jednotka než m²
  • hodnota se proto 10 000krát zvětší
  • po převedení máme 30 000 cm²

Příklad s objemovými jednotkami

Objem V je 150 000 mm³. Převádíme na dm³.

  • dm je 100krát větší jednotka než mm
  • jednotky jsou ve třetí mocnině (dm³)
  • dm³ je tedy (100⋅100⋅100)krát větší jednotka než mm³
  • hodnota se proto 1 000 000krát zmenší
  • po převedení máme 0,15 dm³

Návod na úpravy rovnic za účelem vyjádření veličin:

Řecká písmena se ve fyzice používají jako doplnění klasické latinky pro označení řady různých veličin. Některá písmena (například \varphi) se používají často a dokonce i pro více veličin, jiná (jako \zeta) bychom obtížně hledali i ve vysokoškolských učebnicích.

\alpha \Alpha alfa \iota \Iota ióta \rho \Rho
\beta \Beta beta \kappa \Kappa kappa \sigma \Sigma sigma
\gamma \Gamma gama \lambda \Lambda lambda \tau \Tau tau
\delta \Delta delta \mu \Mu \upsilon \Upsilon ypsilon
\varepsilon \Epsilon epsilon \nu \Nu \varphi \Phi
\zeta \Zeta zéta \xi \Xi ksí \chi \Chi chí
\eta \Eta éta \omicron \Omicron omikron \psi \Psi psí
\theta \Theta théta \pi \Pi \omega \Omega omega

Některé znaky mohou mít více uznávaných (a poměrně odlišných) podob. Setkáme se zejména s těmito:

  • malé fí – \phi i \varphi
  • malé epsilon – \epsilon i \varepsilon
  • malé ró – \rho \varrho
  • malé kappa – \kappa i \varkappa

Co je těžší? Kilo železa, nebo kilo peří?

Komu někdy spadla na nohu železná činka, mohl by si myslet, že kilo železa je mnohem těžší. Ale kilogram a kilogram je stejná hmotnost. Liší se jen objemem.

Bylo by tedy dobré mít nějakou veličinu popisující, jak je něco těžké na jednotku objemu. A právě to je hustota. Značíme ji \rho, má jednotku kg/m³ a spočítá se přesně tak, jak jsme to řekli slovně – hmotnost dělíme objemem.

\rho=\frac{m}{V}

Na rozdíl od hmotnosti je hustota vlastností látek, a proto ji najdeme v tabulkách (např. hustota železa je kolem 7800 kg/m³ ať jde o hřebík nebo tank).

Příklad 1

Dva materiály ze stejných (stejně těžkých) částic. Částice jsou ale různě nahuštěné. Proto platí \rho_A>\rho_B

Příklad 2

Dva materiály ze stejně nahuštěných částic. Částice mají ale jiné hmotnosti. Proto platí \rho_A>\rho_C

Pokud chceme pomocí \rho=\frac{m}{V} počítat hmotnost nebo objem, můžeme (vztahový trojúhelník) dojít k tvarům m=\rho V a V=\frac{m}{\rho}.

Zajímavosti

  • Hustota může být i vlastnost tělesa (např. průměrná hustota mobilního telefonu).

  • Pokud již znáte Archimédův zákon, víte, že kilo peří je dokonce nepatrně těžší. Díky svému velkému objemu, je totiž při vážení na vahách nadlehčováno větší vztlakovou silou než kilo železa.

Látky kolem nás existují v mnoha formách. Pro ty nejzákladnější odlišnosti různých forem (schopnost držet stálý tvar nebo objem) se zavádí rozdělení na skupenství. Existují skupenství pevné, kapalné a plynné. Jako čtvrté skupenství se někdy označuje plazma.

Například látka jménem VODA se kolem nás běžně vyskytuje pevném (led), kapalném (voda z kohoutku) i plynném (vodní pára nad hrncem) skupenství.

Kapaliny a plyny označujeme souhrnně jako tekutiny.

Pevné skupenství

  • stálý objem (nestlačitelné), stálý tvar a struktura (působením vnější síly ale je možná deformace/rozbití)
  • částice látky jsou pevně provázány (vůči sobě se nepohybují, drží „formaci“)

Kapalné skupenství

  • stálý objem (kapaliny jsou téměř nestlačitelné), proměnný tvar (přizpůsobuje se nádobě, ve které se nachází), je ohraničené (hladina rybníka, tvar kapky)
  • částice látky na sebe slabě působí (ale vzájemně se pohybují)

Plynné skupenství

  • snadno mění objem (vnější silou), proměnný tvar (přizpůsobuje se nádobě, ve které se nachází), nemá jasnou hranici
  • částice látky se volně pohybují, jsou mezi nimi velké mezery, působí na sebe jen během srážek

Plazma

  • skoro stejné jako plyn, ale některé částice jsou elektricky nabité (ionty a elektrony), vede tedy elektrický proud, obvykle svítí
  • jde například o blesky, některé typy osvětlení, polární záři, ale i hvězdy nebo mlhoviny
  • podle některých kritérií nejde o „opravdové“ skupenství

Pokud látce dodáváme, nebo odebíráme energii (např. ohříváme nebo ochlazujeme), může dojít ke změně jejího skupenství. Jednotlivé změny skupenství jsou znázorněny na diagramu níže:

U přeměny kapaliny na plyn je dobře znám i pojem var. Jde o typ vypařování, kdy se kapalina přeměňuje na plyn v celém objemu (a ne pouze na svém okraji).

Tání, vypařování a sublimace spotřebovávají energii (musíme dodávat teplo). Při tuhnutí, kondenzaci a desublimaci se energie naopak uvolňuje. Tato energie souvisí se samotným procesem přeměny (ne se změnou teploty).

Pokud jde o plazma, to není skupenstvím v pravém slova smyslu, protože mezi plynem a plazmatem není ostrá hranice (změnu na plazma bychom ale mohli označit jako ionizaci plynu).

Zajímavosti

  • Díky sublimaci cítíme například vůni pevného WC bloku.
  • To, kdy nastane změna skupenství, je ve skutečnosti určeno jak teplotou, tak i okolním tlakem.

Děje v ideálních plynech

Přejít ke cvičením na toto téma »

V plynech může docházet (interakcí s okolím) k procesům, kdy se mění jednotlivé stavové veličiny. To je děj v plynu.

Během děje v ideálním plynu platí stavová rovnice pV=nRT. Pro uzavřené systémy (stálé množství plynu) je konstantní R i n a máme tři proměnné stavové veličiny (p, V a T).

Často dokážeme ještě jednu z nich zafixovat (například objem pevnou velikostí nádoby). Těmto nejjednodušším dějům s pouze dvěma proměnnými stavovými veličinami říkáme izochorický děj (stálý objem), izotermický děj (stálá teplota) a izobarický děj (stálý tlak).

Významným dějem je i adiabatický děj (u něj je konstantní tzv. entropie).

Izochorický děj (konstantní V)

Upravíme stavovou rovnici na \frac{p}{T}=\frac{nR}{V} (dělením obou stran výrazem VT). Pravá strana jsou samé konstanty, je tedy celá konstantní:

\frac{p}{T}=\mathrm{konst.}

Pro libovolné okamžiky (nebo stavy) 1 a 2 během tohoto děje tedy platí \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}. Jde vlastně o přímou úměru mezi p a T. Pokud se např. T postupně zdvojnásobuje, p současně roste také na dvojnásobek.

Izochorický děj v p-V diagramu

Izotermický děj (konstantní T)

Konstantou je T, a tedy i celá pravá strana stavové rovnice:

p\cdot V=\mathrm{konst.}

Pro dva stavy 1 a 2 platí p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2. Jde vlastně o nepřímou úměru mezi p a V (zvětšením V na dvojnásobek klesne p na polovinu). Změny musí probíhat dostatečně pomalu, aby “topení” stíhalo udržovat plyn na stálé teplotě. Jinak by šlo o jev adiabatický (viz níže).

Izotermický děj v p-V diagramu

Izobarický děj (konstantní p)

Upravíme stavovou rovnici na \frac{V}{T}=\frac{nR}{p}. Pravá strana jsou opět samé konstanty, je tedy celá konstantní:

\frac{V}{T}=\mathrm{konst.}

Pro stavy 1 a 2 můžeme psát \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}. Jde vlastně o přímou úměru V a T. Pokud se T zdvojnásobí, V bude taky dvojnásobný).

Izobarický děj v p-V diagramu

Adiabatický děj

Popisuje rychlou expanzi/stlačení plynu. Vztah uvádíme přímo:

p\cdot V^\kappa =\mathrm{konst.}

Pro jednoatomové plyny je \kappa=5/3, pro dvouatomové pak \kappa=7/5. Pro stavy 1 a 2 můžeme psát p_1\cdot V_1^{\kappa}= p_2\cdot V_2^{\kappa}.

Teplota při expanzi klesá (také proto deodoranty studí) a při stlačení roste (až ke vznícení paliva ve válci diesel motoru).

Adiabatický děj v p-V diagramu

Zajímavosti

  • Prakticky je nejsnáze dosažitelný děj izochorický (např. plyn uzavřený v pevné nádobě) a adiabatický (volná, rychlá nekontrolovaná expanze/stlačení).
  • Pomocí p\cdot V^\kappa =\mathrm{konst.} a stavové rovnice pV=nRT můžeme vyjádřit pro adiabatický děj další vztah p\cdot T^{\frac{\kappa}{1-\kappa}}=\mathrm{konst.}
  • Adiabatický děj (a pokles teploty při volném rozpínání) se používá k ochlazení zkapalňovaných plynů.
  • Exponent \kappa je podíl měrného skup. tepla při stálém objemu a při stálém tlaku \kappa=c_\mathrm p/c_\mathrm V.
  • Proč máme dvě verze stavové rovnice? Je to možné proto, že R byla definována jako R=k\cdot N_A a n = N/N_A (s Avogadrovou konstantou N_A). Po dosazení těchto výrazů za R a n do původní stavové rovnice p V = nRT získáme právě p V = NkT.

Kinematika (popis pohybu)

Přejít ke cvičením na toto téma »

Je částí mechaniky, jejímž úkolem je popsat pohyb. Popisovat můžeme pohyb jednotlivých objektů, pohyb souboru objektů, pohyb tekutin a tak dále. V první části se ovšem převážně zaměřujeme na popis pohybu pevných těles.

Kinematika se nesnaží pohyb vysvětlit (proč se něco hýbe), to je podstatou dynamiky. Kinematika se jen ptá, jak se objekty pohybují prostorem:

Rovně?
Do zatáčky?
Stále stejně?
Čím dál tím rychleji?

Kinematika: základní pojmy

Přejít ke cvičením na toto téma »

V mechanice se pohybují především různé objekty, tzv. tělesa. Často je zjednodušujeme na hmotné body (neuvažujeme rozměry a rotaci tělesa, jen hmotnost).

Křivku vykreslující kudy pohyb procházel nazýváme trajektorie. Její délka se nazývá dráha.

Popisovat pohyb můžeme z několika úhlů pohledu:

Jak se na pohyb díváme?

Pohyb musíme popisovat vůči něčemu. Proto zavádíme vztažné soustavy, tedy body vůči kterým poměřujeme svět a změny v něm. Obvykle je vztažná soustava určena počátečním bodem a souřadnicovými osami. Z různých vztažných soustav bude stejný pohyb vypadat jinak:

Speciálním případem je inerciální vztažná soustava, která nezrychluje a nezatáčí (nepociťujeme v ní setrvačné síly jako např. v brzdícím autobuse). Inerciální soustavy se vůči sobě pohybují stále stejným směrem a stejně rychle.

Jak pohyb vypadá?

Podle tvaru trajektorie rozdělujeme pohyby na přímočaré (pohybuje se stále rovně) a křivočaré (zatáčí).

U těles také rozlišujeme, jestli se někam posouvá, nebo se točí. Nebo obojí. Porovnáním trajektorií jednotlivých bodů tělesa tedy rozlišíme pohyb posuvný (translační) a otáčivý (rotační), případně složený.

Jak pohyb probíhá?

Z tvaru trajektorie zjistíme kudy se někdo pohyboval, ale už ne jak rychle. Stejnou zatáčku na polní cestě může opsat šnek i auto. Veličinou, která tyto pohyby odlišuje, je rychlost. Značíme ji v a je rovna dráze dělené časem t. Je buď průměrná (tedy podíl dráhy a času za nějakou dlouhou dobu) nebo okamžitá (změny dráhy za malou změnu času).

Pokud je rychlost stále stejně velká, mluvíme o rovnoměrném pohybu. Pokud se mění, jde o pohyb nerovnoměrný.

Jaký je tedy pohyb?

Výše zmíněné vlastnosti pohybu se různě kombinují, můžeme mít posuvný pohyb rovnoměrný a přímočarý, posuvný pohyb nerovnoměrný a přímočarý, rovnoměrný otáčivý pohyb a tak dále.


Zajímavosti

Inerciální soustava ve skutečnosti prakticky neexistuje. Vždyť i Sluneční soustava obíhá okolo galaktického jádra (a nepohybuje se tedy rovnoměrně přímočaře). Jsou jen soustavy, které jsou blíže k tomuto ideálu, než jiné.

Definice rychlosti v (dráha s za čas t) je vlastně slovním popisem vzorce pro její výpočet:

v=\frac{s}{t}

Jde vlastně o průměrnou rychlost za časový interval t. V případě rovnoměrného pohybu, je zároveň rovna i rychlosti v každém okamžiku pohybu.

Díky matematice ale dokážeme víc –⁠ když známe libovolné dvě z těchto tří veličin můžeme tu třetí dopočítat. Ze vztahu v=s/t tak odvodíme (např. pomocí vztahového trojúhelníku níže) i vzorce pro dráhu rovnoměrného pohybu s a dobu rovnoměrného pohybu t:

s=v\cdot t

t=\frac{s}{v}

Pokud se dráha skládá z více úseků, můžeme tyto úseky přímo sčítat abychom dostali celkovou dráhu s=s_1+s_2+\cdots. Totéž platí o čase t=t_1+t_2+\cdots.

Rychlosti naopak takto přímo sčítat nemůžeme \xcancel{v=v_1+v_2+\cdots} (například pokud bychom chtěli zjistit průměrnou rychlost z rychlostí na více úsecích musíme počítat v=\frac{s_1+s_2\cdots}{t_1+t_2+\cdots}).

Zajímavosti

  • Pokud bychom u nerovnoměrného pohybu dosadili jen kratičké úseky s a intervaly t (také označované jako \Delta s a \Delta t) dostaneme rychlost okamžitou.
  • Symbol \Delta se používá jako označení změny (rozdílu dvou hodnot). Takže například \Delta h je rovno rozdílu h v okamžicích 1 a 2: \Delta h = h_1-h_2

Vztahový trojúhelník (pyramida)

Pokud známe nějaký vzorec typu \bf{A=B\cdot C} nebo \bf{A=B/C} (zmíněný v=s/t) můžeme pomocí jednoduché pomůcky zjistit, jak vypadají vzorce pro \bf{B} a pro \bf{C}.

  • Nakreslíme si trojúhelníkovou pyramidu (zatím prázdnou).
  • Zakreslíme do ní pravou stranu rovnice (naše s/t), tak aby vypadala graficky stejně jako ve vzorci (dělení jako zlomek nad sebou, případně násobení vedle sebe v dolním patře).
  • Na zbývající místo doplníme levou stranu vzorce.

  • Nyní stačí pro výpočet jakékoliv veličiny zakrýt tuto veličinu prstem a podívat se jak vypadají ostatní nezakryté.

Rychlost, dráha, čas: vzorce

Přejít ke cvičením na toto téma »

Definice rychlosti v je dráha s za čas t. Matematicky zapsáno je to

v=\frac{s}{t}

jde vlastně o rychlost průměrnou, ale v případě rovnoměrného pohybu i o okamžitou rychlost po celou dobu pohybu.

Můžeme počítat i s a t (vždy když známe zbývající dvě veličiny). Matematickou úpravou, resp. použitím vztahového trojúhelníku jsme odvodili vztahy pro dráhu

s=v\cdot t

a pro čas

t=\frac{s}{v}.

Dráha Tarzana

  • Tarzan na liáně letí rychlostí 12 m/s po dobu 5 s než se rozplácne o strom. Jakou dráhu uletěl?
  • Hledáme s a známe v a t. Použijeme tedy vzorec s=v\cdot t.
  • Dosadíme za v a t.
  • s=12 \cdot 5\,\mathrm m=60\,\mathrm m
  • Tarzan se rozplácl po 60 m.

Rychlost auta

  • Auto ujelo 200 km za 4 h. Jakou udržovalo rychlost?
  • Hledáme v a známe s a t. Použijeme tedy vzorec v=\frac{s}{t}
  • Dosadíme do něj za s a t.
  • v=\frac{200}{4}\,\mathrm {km/h}=50\,\mathrm {km/h}
  • Auto udržovalo rychlost 50 km/h.

Letové hodiny stíhačky

  • Stíhačka přeletěla 800 km rychlostí 1600 km/h. Jak dlouho letěla?
  • Hledáme t a známe s a v. Použijeme tedy vzorec t=\frac{s}{v}
  • Dosadíme do něj za s a v.
  • t=\frac{750}{1500}\,\mathrm h=0{,}5\,\mathrm h
  • Stíhačka letěla půl hodiny.

Rychlost, dráha, čas: základní úlohy

Přejít ke cvičením na toto téma »

Ne vždy můžeme ihned dosadit do vzorců jako s=v\cdot t. Musíme totiž nejprve vyřešit drobné komplikace:

  1. Jednotky nesedí. Musíme převést na stejné jednotky, nebo alespoň tak abychom nekombinovali různé časové škály (např km/h se sekundami)

Autobus

  • Autobus jel 15 minut rychlostí 40 km/h. Kolik toho ujel?
  • V jednotce rychlosti jsou hodiny zatímco čas je v minutách. Musíme tedy převádět.
  • Mohli bychom převádět na m/s a sekundy, ale bylo by to pracné.
  • Lepší je převést čas na hodiny (výsledek vyjde v km).
  • 15 minut → 0,25 h
  • Konečně můžeme dosadit do s=v\cdot t.
  • s=40\cdot 0{,}25 \,\mathrm{km} = 10\,\mathrm{km}
  1. Dráhy/časy složené z více částí. Celková dráha pohybu s je prostě součtem drah všech úseků s=s_1+s_2+\cdots. Totéž platí pro čas t=t_1+t_2+\cdots.

Triatlon

  • Triatlonista zvládl závod za 2h. Přitom ujel 40 km na kole, 10 km běžel a 1,5 km plaval. Jakou měl průměrnou rychlost během celého závodu?
  • Použijeme vzorec v=\frac{s}{t}, ale přímo známe jen čas t. Potřebujeme s.
  • Celková dráha s je podle s=s_1+s_2+s_3
  • Číselně s=40+10+1{,}5\,\mathrm {km}= 51{,}5\,\mathrm {km}.
  • Už můžeme dosazovat v=\frac{51{,}5}{2}\,\mathrm {km/h}=25{,}75\,\mathrm {km/h}

Pro rychlost to ale neplatí! Průměrná rychlost více úseků dohromady se musí počítat jako v=\frac{s_1+s_2+\cdots}{t_1+t_2+\cdots}.

  1. Místo dráhy/času známe jen hodnoty na začátku a na konci. Neznáme dráhu přímo, ale známe polohy na trati na začátku a na konci pohybu. Podobně může být potřeba určit dobu pohybu t jako rozdíl časů (na hodinách) v okamžiku startu a cíle.

Sjezdy na dálnici

  • Na dálnici jsme najeli nájezdem na 20. km a opustili ji sjezdem na 200. km. Jak dlouho jsme na ní strávili s rychlostí 90 km/h?
  • Hledáme t. Přímo známe ale jen v.
  • Dráhu s musíme určit jako rozdíl poloh na začátku a na konci.
  • s=200-20\,\mathrm{km}=180\,\mathrm{km}
  • Teprve nyní můžeme dosadit do t=\frac{s}{v}.
  • t=\frac{180}{90}\,\mathrm{h}=2\,\mathrm{h}

Rychlost, dráha, čas: složitější a vzájemné pohyby těles

Přejít ke cvičením na toto téma »

Pokud se pohybuje více těles, můžeme zkoumat jejich vzájemný pohyb.

Vzájemná rychlost dvou těles (těleso 1 a těleso 2) je rozdílem jejich rychlostí.

v_{12}=v_1-v_2

Pokud se k sobě tělesa přibližují, můžeme ze vzorce t=\frac{s}{v} spočítat čas setkání. Stačí místo v dosadit vzájemnou rychlost a za s jejich vzdálenost (v tomto kontextu ji můžeme klidně označit i jako s, protože pro dráhy jednotlivých těles pravděpodobně použijeme s_1 a s_2).

t=\frac{s}{v_{12}}

Místo setkání je možné poté dopočítat, když dosadíme do pohybu jednoho z těles vypočtený čas setkání (např. s_1=v_1\cdot t, nebo s_2=v_2\cdot t).

Rovnoměrný a nerovnoměrný pohyb

Přejít ke cvičením na toto téma »

Pohyb dělíme na rovnoměrný a nerovnoměrný podle toho, jestli se mění velikost rychlosti. U tohoto dělení naopak nezáleží na tom, jestli se mění směr pohybu (směr rychlosti).

  • rovnoměrný pohyb = velikost rychlosti je stále stejná, zrychlení je nulové, nebo kolmé na směr pohybu (pohyb po kružnici)

  • nerovnoměrný pohyb = velikost rychlosti se mění, zrychlení není nulové

Pokud se rychlost pohybu mění, charakterizuje tyto změny veličina jménem zrychlení. Značíme jej a a je to změna rychlosti za změnu času.

a=\frac{\Delta v}{ \Delta t }

Jednotkou zrychlení je \mathrm{m/s^2}.

Zejména v kinematice můžeme zrychlení brát jako změnu velikosti rychlosti. Pokud je stále stejné, jde o pohyb rovnoměrně zrychlený nebo pohyb rovnoměrně zpomalený.

Pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí:

v=v_0+a\cdot t nebo jednodušeji v=a\cdot t (pokud je počáteční rychlost v_0 nulová)

Vztah pro dráhu je pak:

s=v_0t+\frac{1}{2}a t^2 nebo jednodušeji s=\frac{1}{2}a t^2 (pokud je počáteční rychlost v_0 nulová)

V případě rovnoměrně zpomaleného pohybu (rychlost se rovnoměrně snižuje), používáme obvykle vztahy v=v_0-a\cdot t pro rychlost a s=v_0t-\frac{1}{2}a t^2 pro dráhu.
Zjednodušené vztahy (v_0=0) v tomto případě nemají smysl, protože musíme mít z čeho zpomalovat.

Je i alternativa používat pro zpomalený pohyb stejné vztahy jako pro pohyb zrychlený a dosazovat záporné hodnoty zrychlení a. V následujících cvičeních ale není použita.


Přesnější definice zrychlení je změna vektoru rychlosti za změnu času.

\vec a=\frac{\Delta \vec v}{ \Delta \vec t }

Zrychlení je podle této definice nenulové i u rovnoměrného pohybu po kružnici a každého křivočarého pohybu (mění se směr vektoru rychlosti).

Dráha zrychleného pohybu

Přejít ke cvičením na toto téma »

Pro pochopení vzorců dráhy rovnoměrně zrychleného pohybu (zrychlení a je konstanta) se hodí graf závislosti rychlosti na čase. Podívejme se nejprve na graf rovnoměrného pohybu:

Plocha pod křivkou rychlosti má obsah v\cdot t (obsah obdélníka) což je přesně rovno dráze pohybu rovnoměrného.

Toto ale platí obecně – obsah plochy pod křivkou rychlosti v grafu v/t je roven dráze. Pokud se rychlost rovnoměrně mění, nejde sice už o obdélník, plocha je ale stejná jako plocha obdélníka o výšce průměrné rychlosti \bar v (plocha zeleného a červeného trojúhelníka je totiž stejná).

U rovnoměrně zrychleného pohybu se můžeme setkat s několika situacemi:

Pohyb začíná z klidu

Pro rychlost platí v=a\cdot t (přímá úměra). V grafu to vypadá takto:

Trojúhelník zabírá polovinu obdélníka o stranách a\cdot t a t (viz obrázek výše vlevo). Dráha je tedy rovna:

s=\frac{1}{2}at^2

Těleso se už pohybuje rychlostí v_0 a zrychluje

S nenulovou v_0 máme rychlost v=v_0+a\cdot t. Pak je dráha rovna součtu:

s=v_0\cdot t + \frac{1}{2}at^2

I to můžeme vyčíst z grafu (celková plocha pod křivkou je součet obdélníka v_0\cdot t a trojúhelníka \frac{1}{2}at^2):

Těleso se už pohybuje rychlostí v_0 a zpomaluje (rovnoměrně zpomalený pohyb)

Platí totéž co v bodě 2. Zde ale od velkého obdélníka trojúhelník odečítáme.

s=v_0\cdot t -\frac{1}{2}at^2

Klasická mechanika popisuje 4 vrhy/pády. Volný pád, vrh svislý, vrh vodorovný a vrh šikmý.

Rozpoznáme je podle trajektorie a rychlosti v:

Trajektorie

  • vrh svislý a volný pád → rovná (část přímky)
  • vrh vodorovný a vrh šikmý → zakřivená (část paraboly)

U vodorovného vrhu a volného pádu navíc trajektorie začíná nejvyšším bodem.

Rychlost

  • volný pád → počáteční úplně nulová, pak svisle směrem dolů
  • vrh svislý → počáteční svislý směr, v průběhu svislý směr nebo nulová
  • vrh vodorovný → počáteční vodorovný směr, pak vždy šikmo dolů
  • vrh šikmý → počáteční šikmý směr, v průběhu i vodorovný (na vrcholu)

V průběhu všech vrhů se vodorovná složka rychlosti (obvykle značená v_\mathrm x) nemění, svislá (v_\mathrm y) ale ano.

Matematicky: vodorovný směr rychlosti znamená v_\mathrm y = 0, svislý směr rychlosti znamená v_\mathrm x=0.

Z nepřímočarých pohybů je nejdůležitější rovnoměrný pohyb po kružnici. Popisuje situace jako točení na kolotoči, prádlo v bubnu ždímačky nebo otáčení planety Země. Přibližně odpovídá i řadě složitějších situací (např. pohyb v trolejbusu v zatáčce).

Tedy trajektorií je kružnice. Rychlost v je tečnou k trajektorii (i proto se nazývá obvodová) a má konstantní velikost, mění se ale směr. Zrychlení (které právě popisuje změny směru rychlosti) směřuje do středu kružnice. Říká se mu proto dostředivé a značíme jej a_\mathrm d. Má velikost:

a_\mathrm d=\frac{v^2}{r}

Často nás nezajímá, jak rychle se pohybujeme, ale jak rychle se otáčíme dokola (úhel za jednotku času). Proto definujeme úhlovou rychlost \omega. Pro rovnoměrný pohyb po kružnici je \omega konstantní a úhel otočení \varphi je přímo úměrný času.

Platí vztahy jako \omega=\frac{v}{r} resp. v=\omega\cdot r. Po dosazení za v tak můžeme dostat alternativní vztah pro a_\mathrm d:

a_\mathrm d=\omega^2\cdot r

Protože síla je vektorová veličina, skládání sil je vlastně sčítáním vektorů. Proto následující odstavce platí pro jakoukoliv jinou vektorovou veličinu.

Sčítání vektorů není vždy jednoduché. Záleží na tom, jak jsou jednotlivé síly orientovány. Může nastat několik situací:

Sčítání vektorů ukážeme na příkladu skládání sil a jejich výslednici označujeme indexem „celk“.

Vektory ležící v jedné přímce

Pokud leží všechny vektory v jedné přímce (např. všechny míří vodorovně doprava nebo doleva) je tato úloha velmi zjednodušena:

  1. Zvolíme směr (jeden z těch dvou).

  1. Přičítáme velikosti vektorů mířících zvoleným směrem, u těch které míří na druhou stranu odečítáme.

  1. Vyjde nám velikost (délka) výsledného vektoru. Pokud vyšla kladně, míří námi zvoleným směrem, pokud vyšla záporně, míří na druhou stranu.

Vektory neležící v jedné přímce (souřadnicové řešení)

  1. Musíme zvolit nějakou kartézskou soustavu souřadnic, například ve směru jednoho ze sčítaných vektorů.

  1. Určíme jednotlivé složky všech vektorů v této soustavě

  1. Sečteme zvlášť stejné složky všech vektorů

  1. Výsledkem je vektor o souřadnicích které nám vyšly

Dva vektory neležící v jedné přímce (grafické řešení)

  1. Vektory narýsujeme tak, aby vycházely z jednoho bodu/působiště

  1. Doplníme na rovnoběžník. Výsledkem je úhlopříčka vycházející ze společného počátku vektorů

Více vektorů neležících v jedné přímce (grafické řešení)

  1. Vektory narýsujeme tak, aby vycházely z jednoho bodu/působiště

  1. Doplňováním na rovnoběžník sčítáme postupně jednotlivé vektory dokud nezbyde jeden výsledný vektor (pořadí je na nás)

Tipy

Pokud jsou na sebe vektory kolmé (nesvírají jiný úhel), určíme délku výsledné síly i se znalostí úhlopříček obdélníka (Pythagorova věta, F_\mathrm{celk}=\sqrt{F_1^2+F_2^2})

Alternativně můžeme grafické skládání vektorů pojmout tak, že síly připojujeme jednu za druhou jako na řetěz (viz obrázek). Je to sice názornější, ale rýsovalo by se to mnohem hůř.

Také známý jako první Newtonův zákon. Jeho původní znění je v latině, překlad je přibližně následující:

Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném pohybu v daném směru, není-li nuceno vnějšími silami tento stav změnit.

„V daném směru“ znamená především rovnoměrný přímočarý pohyb (konstantní vektor rychlosti \vec v). Může mít ale i další význam (viz Zajímavosti).

Těleso není „…nuceno vnějšími silami tento stav změnit…“ právě tehdy, když je výslednice (vektorový součet všech sil působících na těleso), nulová.

\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3+\dots=\vec 0 \;\;\;\implies\;\;\; \vec v=\mathrm{konst.}

Tento zákon platí jen v inerciálních soustavách.

Důsledky

  • Pokud je výslednice sil nulová, vektor rychlosti \vec v se nemění. Ani jeho velikost, ani jeho směr.
  • Pohyb za nepřítomnosti sil sám nezastaví.
  • I za přítomnosti sil může být pohyb/klid tělesa neměnný (pokud je jejich výslednice nulová).

Zajímavosti

  • Původní znění je „Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.“

  • Výzkum původních Newtonových děl ukazuje , že první zákon zahrnuje i setrvačnost otáčivého pohybu a tedy není jen speciálním případem druhého Newtonova zákona¹. Příklady spojenými s rotací se nicméně cvičení nezabývají.

Také je znám jako druhý Newtonův zákon, je jedním z nejdůležitějších zákonů, které popisují dynamiku pohybu (proč objekty mění svůj pohyb).

Původní Newtonova formulace

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundam lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Matematicky je vyjádřen jako rovnice mezi výslednicí sil působících na těleso (\vec F), jeho zrychlením (\vec a) a setrvačností tělesa vyjádřené jeho hmotností (m).

\vec F=m\cdot \vec a

Rovnice napsaná bez znázornění vektorových veličin (F=m\cdot a) je také častá, zejména když není směr zrychlení důležitý (např. vše probíhá na přímce).

Jiné tvary

Pomocí matematických úprav můžeme dojít k dalším tvarům:

  • \vec a=\frac{\vec F}{m}

Tento tvar je fyzikálně asi nejlogičtější, protože zrychlení, které je z našeho pohledu následek (levá strana rovnice) je důsledkem příčin tohoto pohybu (přítomnost sil \vec F, setrvačnost tělesa kvůli hmotnosti m).

  • m=\frac{F}{a}

Protože je hmotnost skalár, je podílem velikostí obou vektorů což můžeme zapsat právě jako \frac{F}{a} (bez šipek) nebo uzavřením vektorů do svislých čar m=\frac{\lvert\vec F\rvert}{\lvert\vec a\rvert}.

Zajímavosti

  • Protože \vec F i \vec a jsou vektory a m je jen skalár (číslo) směřují zrychlení i výsledná síla stejným směrem.

  • Zákon síly není definicí síly, protože o ní nic konkrétního neříká (odkud se vzala, jaká je, …).

Zákon akce a reakce, neboli třetí Newtonův zákon popisuje vzájemné působení (interakci) dvou těles.

Definice

Každé působení prvního tělesa na druhé (silou \vec F_{12}), neboli akce, vyvolává stejně velkou, opačně orientovanou reakci působení druhého tělesa na první (\vec F_{21}).

Matematicky to můžeme vyjádřit jako

\vec F_{12}=-\vec F_{21}

Taková dvojice sil vypadá následovně:

Vlastnosti

Ačkoliv jsou síly opačně orientované a stejně velké, jejich výslednice není nulová. Působí totiž každá na jiné těleso, nemůžeme je tedy sčítat.

Akce i reakce na ni probíhají okamžitě (alespoň v Newtonovském pojetí času), společně vznikají a společně zanikají. Nelze tedy určit, která je která.

Zajímavosti

  • „Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem; sive: corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.“ (Newtonova formulace)
  • Protože jsou akce i reakce současné a nerozlišitelné, dalo by se o tomto zákonu s trochou drzosti mluvit spíše jako o zákonu INTERakce.
  • Důsledkem zákona akce a reakce je i zákon zachování hybnosti.

Tíhová síla

Pro popis dynamiky pohybu na zemi a u země nepoužíváme přímo gravitační sílu F_g, protože to úplně nevychází. Nacházíme na totiž na rotující (Země)kouli a v naší vztažné soustavě musíme započítat odstředivou sílu.

Tento součet (gravitační a odstředivé síly) označujeme jako tíhovou sílu F_G. Podobně máme místo gravitačního zrychlení a_g tíhové zrychlení g. Působištěm tíhové síly je těžiště tělesa (stejně jako u gravitační síly).

Tíha

Ani tíhová síla není ale vždy rovna velikosti síly, jakou tlačí např. naše nohy na podlahu pod námi.

Proto zavádíme tíhu G. Jde v podstatě o tlakovou sílu na podložku (způsobenou tíhovou silou). Působištěm tíhy je místo kontaktu s podložkou. Rozdíl ve velikosti mezi tíhou a tíhovou silou poznáme u soustav zrychlujících ve svislém směru.

Příklad : Výtah

  • Ve výtahu na nás působí stále stejná tíhová síla F_G.
  • Když se ale výtah rozjíždí nahoru, cítíme se těžší – je totiž větší naše tíha G.
  • Při rozjezdu směrem dolů je naše tíha naopak menší.
  • kdyby výtah začal padat volným pádem, bude naše tíha dokonce nulová. Ale to nechceme…

Definice

Tlak (značíme p) je veličina popisující deformační (ne pohybové) účinky síly na těleso. Je definován pomocí tlakové síly \vec F působící kolmo na určitou plochu S.

p = \frac{F}{S}

Úpravou rovnic (nebo pomocí vztahového trojúhelníku níže) můžeme odvodit další vztahy

F = p \cdot S

S = \frac{F}{p}

Jednotky

Jednotkou je (jak ze vztahu p = F/S vyplývá) newton na metr čtvereční (N/m²). Tato jednotka dostala také vlastní název – pascal.

Vtip o jednotkách

Archimedes, Pascal a Newton hrají na schovávanou.
Archimedes piká… Pascal se rychle schová do křoví.
Newton se vůbec neschovává, jen do hlíny klackem
namaluje čtverec metr krát metr a postaví se do něj.
Archimedes dopiká, okamžitě uvidí Newtona a volá:
„Deset dvacet Newton!“ Newton v klidu řekne:
„Nene. Newton na metr čtvereční je přece pascal!“

Typicky se setkáváme se silami v jednotkách až stovkách newtonů působícími na plochy mnohem menší než je metr čtvereční. Proto se kolem nás setkáváme nejčastěji s tlaky v tisících, ne-li milionech pascalů.

Vztahový trojúhelník

Pro získání vzorce pro libovolnou veličinu p, F, S můžeme použít vztahový trojúhelník (pyramidu). Více o tom jak se vytváří a funguje najdete zde.


Zajímavosti

Jednotka pascal je v soustavě SI teprve od roku 1971

Pozn.: Ne vždy lze jednoduše znázornit tlakovou sílu s působištěm v místě doteku (např. více končetin). Proto v některých příkladech používáme k ilustraci i tíhovou sílu s působištěm v těžišti. Má totiž stejnou velikost jako tlaková síla, kterou vyvolává.

Mezi dvěma tělesy, která jsou v kontaktu, působí různé síly. Jednou skupinou těchto sil je působení mezi jejich povrchy, pokud jsou v přímém kontaktu (doteku).

U sunutí jednoho tělesa po druhém jsou rozhodující hlavně vlastnosti povrchu obou těles. V podstatě jde o jejich nerovnosti a to, jak do sebe zapadají. Tomuto říkáme smykové tření.

Vzniká síla namířená proti směru pohybu (nebo proti směru, ve kterém se o pohyb snažíme) a nazýváme ji třecí silou.

Třecí síla záleží na tlakové síle, kterou proti sobě povrchy působí, a na tom, jak dobře po sobě povrchy mohou klouzat. A to právě záleží na obou materiálech.

Jak po sobě umí daná dvojice materiálů klouzat vyjadřuje experimentální konstanta, tzv. koeficient smykového tření (čím nižší, tím lepší klouzání).

Materiály Koeficient
ocelový nůž brusle a led 0,03
hladká ocel a mosaz (olej) 0,11
cihla a dřevo(suché) 0,60
pneumatika a suchý asfalt 0,72
guma a guma 1,16

(většinou se pohybuje v rozmezí 0 až 1)

Smykové tření dělíme na klidové (statické) a smykové tření v pohybu (dynamické).

Klidové tření

Probíhá, dokud jsou tělesa vzájemně v klidu a ještě nedochází ke smýkání (i když se jej nějaká síla snaží vyvolat). Třecí síla je tím, co rozpohybování brání. Například jde o:

  • auto zabrzděné v kopci
  • sešit ležící na křivém stole
  • skříň, kterou se snažíme posunout, ale nemůžeme s ní ani hnout

Třecí síla je pak rovna silám, které se pokoušejí vyvolat vzájemný pohyb. Má ale svoji horní hranici. Pokud je překročena, tělesa se začnou smýkat a přesouváme se do kategorie smykového tření v pohybu.

Smykové tření v pohybu

Setkáme se s ním, když se po sobě tělesa pohybují. Funguje jako brzda působící proti směru pohybu. Jde například o:

  • dítě klouzající po skluzavce
  • tužku píšící na papír
  • koleno drásající se o asfalt
  • nebo i ten sešit, když se jej pokusíme položit na příliš nakloněný povrch

Smykové tření a třecí síla

Přejít ke cvičením na toto téma »

Mezi dvěma tělesy, která jsou v kontaktu, působí různé síly. Jednou skupinou těchto sil je působení mezi jejich povrchy, pokud jsou v přímém kontaktu (doteku).

Tyto síly jsou mikroskopické (slabé vazby mezi nejbližšími atomy) i makroskopické (nerovnosti které do sebe zapadají) a mají většinou hlavní vliv na pohyb jednoho tělesa po druhém. Pokud se tělesa po sobě sunou (nevalí), říkáme účinkům takových sil smykové tření.

Sílu, která směřuje proti směru pohybu (nebo proti směru, ve kterém se o pohyb snažíme), nazýváme třecí silou F_t. Tato třecí síla záleží na tlakové síle F_N, kterou proti sobě povrchy působí, a na tom, jak dobře po sobě povrchy umí klouzat. To pro danou dvojici materiálů vyjadřuje experimentální konstanta koeficientu smykového tření f.

Materiály Koeficient f
ocelový nůž brusle a led 0,03
hladká ocel a mosaz (olej) 0,11
cihla a dřevo(suché) 0,60
pneumatika a suchý asfalt 0,72
guma a guma 1,16

(většinou se f pohybuje v rozmezí 0 až 1)

Smykové tření dělíme na klidové (statické) a smykové tření v pohybu (dynamické).

Klidové tření

Probíhá, dokud ještě nedochází ke smýkání, i když se jej nějaká síla snaží vyvolat. Například jde o:

  • auto zabrzděné v kopci
  • sešit ležící na křivém stole
  • skříň, kterou se snažíme posunout, ale nemůžeme s ní ani hnout

Třecí síla je pak rovna výslednici sil, které se pokoušejí vyvolat vzájemný pohyb.

Maximální klidová třecí síla je vyjádřena z F_N a f jako

F_t=f\cdot F_N

pokud tuto hodnotu ostatní síly překonají, těleso se rozpohybuje.

Smykové tření v pohybu

Funguje jako brzda působící proti směru pohybu. Jde například o:

  • dítě klouzající po skluzavce
  • tužku píšící na papír
  • koleno drásající se o asfalt
  • nebo i ten sešit, když se jej pokusíme položit na příliš nakloněný povrch

Tření je o něco slabší, než to maximální klidové tření (protože pohybující se povrchy nemají dost času do sebe co nejlépe zapadnout). Třecí síla má sice stejnou velikost

F_t=f\cdot F_N

ale koeficient tření v pohybu je menší (např. pneumatika ve smyku nebude mít f=0,72 ale jen f=0,65). Často se tedy i označují jinak (například koeficient klidového tření jako f_0).

Zajímavosti

  • Protože je pohybové tření menší než to klidové, znamená to, že kvádr, který jednou po nakloněné rovině rozjede, se už nezastaví. Až dole.

Hybnost je vektorová fyzikální veličina, kterou značíme \vec p (její velikost je p) a která je definovaná poměrně jednoduše – jako součin rychlosti tělesa a jeho hmotnosti. Jednotkou je tedy součin jednotek obou veličin – kg⋅m/s.

Matematicky hybnost zapisujeme takto:

\vec p=m\cdot \vec v.

Protože jde o vektorovou veličinu, musíme za změnu hybnosti považovat nejen její zmenšení/zvětšení, ale i změnu jejího směru (tedy směru rychlosti).

Na první pohled je zavedení takové veličiny zbytečné (pouze násobek rychlosti). Je ale důležitá pro popis soustavy více těles. Můžeme určit celkovou hybnost soustavysoučet hybností jednotlivých těles (vektorový součet, viz obrázek).

Matematicky zapsáno:

\vec p = \vec p_1+\vec p_2+\vec p_3+\cdots

Celková hybnost těles izolované soustavy se nemění, ať se mezi nimi děje cokoliv (srážky, tření, gravitační přitahování, magnetické síly, …). Říká se tomu zákon zachování hybnosti.

Zajímavosti

  • Na principu zákona zachování hybnosti jsou založeny sporty jako kulečník nebo curling. Také tím vysvětlíme zpětný ráz při výstřelu z děla nebo explozi rachejtle na nočním nebi.

Působení síly na těleso může být posuvné a otáčivé. Zatímco posuvné účinky síly (\vec F) popisuje druhý Newtonův zákon, otáčivé účinky sil vyjadřuje tzv. moment síly.

Když fotbalista kopne do míče, míč se nejen rozletí ale také (často) začne rotovat.

Moment síly (značíme \vec M) je vektorová veličina. Čím má moment síly větší velikost, tím rychleji roztáčí těleso. Základní jednotkou momentu síly je jeden newtonmetr (Nm).

Velikost

Velikost momentu síly se počítá jako součin velikosti síly F a ramene síly r_\perp.

M=r_\perp \cdot F

Rameno síly není vždy vzdálenost síly od osy otáčení. Je to vlastně kolmá vzdálenost osy otáčení od přímky, ve které leží síla F. Lépe je to pochopitelné z obrázku 1. Zde jej značíme jako r_\perp (a vzdálenost od osy jako obyčejné r). Je to proto, že se v různých učebnicích značení liší (r, d, a, …).

Případně lze použít i ekvivalentního vztahu M=r F \sin (\alpha), kde \alpha je úhel mezi \vec F a \vec r.

Směr

Moment síly je kolmý na sílu i na rameno síly. Jeho směr se dá zjistit pomocí pravidla pravé ruky.

Protože je moment síly závislý na ose otáčení, znamená to, že jedna síla může mít různé momenty vůči různým osám (například vůči přednímu a zadnímu kolu bicyklu).

Mechanická energie a zákon zachování mechanické energie

Přejít ke cvičením na toto téma »

Mechanickou energii dělíme na dvě části. Potenciální (polohovou) E_\mathrm p a kinetickou (pohybovou) E_\mathrm k.

Potenciální energie

Je v homogenním tíhovém poli Země úměrná výšce nad zemí h podle vzorce

E_\mathrm p=mgh.

Není jednoznačná. Záleží na definici nulové výšky (obvykle úroveň podlahy/země). Např. 0,5kg polštář může ze stejného okraje balkonu spadnout:

  • dovnitř balkonu (pak h\approx 1\,\mathrm m a E_\mathrm p\approx 5\,\mathrm J)

  • ven přes okraj a padat 4 patra dolů (pak dává smysl definovat nulovou výšku až na chodníku a tím pádem je h\approx 13\,\mathrm m s E_\mathrm p\approx 65\,\mathrm J).

Kinetická energie

Pro hmotný bod (nebo nerotující těleso) je úměrná druhé mocnině rychlosti:

E_\mathrm k=\frac{1}{2}mv^2

V klidu je tedy nulová.

Kinetická energie balvanu Balvan o m=10\,\mathrm{kg} se uvolnil a valí z kopce.

  • Na začátku má v=0\,\mathrm{m/s} proto je E_\mathrm k=0\,\mathrm J.
  • Po chvíli se rozjede na v=2\,\mathrm{m/s} a má E_\mathrm k=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2^2\,\mathrm J=20\,\mathrm J.
  • Do údolí dorazí rychlostí v=4\,\mathrm{m/s} a tedy s kinetickou energií E_\mathrm k=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4^2\,\mathrm J=80\,\mathrm J.

Mechanická energie tělesa a celková mechanická energie soustavy

Mechanickou energií tělesa je součet E_\mathrm k a E_\mathrm p.

Mechanická energie parašutisty Parašutista má v jednu chvíli E_\mathrm p=2400\,\mathrm J (vůči zemi) a E_\mathrm k=400\,\mathrm J

  • Mechanická energie je E_\mathrm p+E_\mathrm k. Tedy 2400 J plus 400 J .
  • Mechanická energie parašutisty je 2800 J.

Celkovou mechanickou energií E soustavy těles je součet mech. energií jednotlivých těles.

Mechanická energie akrobatů ve vzduchu Jeden akrobat má mechanickou energii (součet svých E_\mathrm p+E_\mathrm k) rovnu 900 J. Druhý akrobat 1000 J a třetí 200 J.

  • Celková mechanická energie soustavy je jejich součtem. Tedy 900+1000+200 J.
  • Celková mechanická energie akrobatů je 2100 J.

Zákon zachování mechanické energie

Pokud se mechanická energie nepřeměňuje na jiné formy (např. na tepelnou energii třením) můžeme použít zákon zachování mechanické energie (ZZE). Tento součet se totiž v čase nemění (např. během pohybu, pružných srážek, …). To můžeme zapsat:

Pro jedno těleso: E_\mathrm p+E_\mathrm k=\mathrm{konst.}

Pro dvě tělesa: E_\mathrm {p,1}+E_\mathrm {k,1}+E_\mathrm {p,2}+E_\mathrm {k,2}=\mathrm{konst.}

a tak dále…

Jedno těleso – padající tenisák Tenisák o hmotnosti 0,1 kg upustíme z výšky 2 m na zem. Jaká je jeho kinetická energie 0,4 m nad zemí?

  • Na začátku:

E_\mathrm p=mgh\approx 0{,}1\cdot 10\cdot 2\,\mathrm J=2\,\mathrm J

E_\mathrm k=\frac{1}{2}mv^2=0\,\mathrm J (nulová rychlost v)

celková mech. energie je tedy E=E_\mathrm k+E_\mathrm p=2\,\mathrm J

  • 0,4 m and zemí:

E_\mathrm p=mgh\approx 0{,}1\cdot 10\cdot 0{,}4\,\mathrm J=0{,}4\,\mathrm J

Aby byl stále součet E_\mathrm k+E_\mathrm p roven 2 J, musela E_\mathrm k vzrůst o tolik, o kolik klesla E_\mathrm p. Tedy E_\mathrm k=1{,}6\,\mathrm J.

  • Úpravou vzorce E_\mathrm k=\frac{1}{2}mv^2 bychom pak mohli vypočítat i rychlost (bez počítání rovnic volného pádu).

Jedno těleso – hod oštěpem Jaké výšky mohl dosáhnout 1kg oštěp vržený E_\mathrm k=150\,\mathrm J pokud měl v nejvyšším bodě kinetickou energii jen E_\mathrm k=30\,\mathrm J?

  • E_\mathrm p není zadaná, zřejmě je tedy na začátku hodu prakticky nulová.
  • Snížení E_\mathrm k o 120 J musí podle E_\mathrm k+E_\mathrm p=\mathrm{konst.} znamenat E_\mathrm p=120\,\mathrm J.
  • Z E_\mathrm p=mgh už snadno vyjádříme výšku h=\frac{E_\mathrm p}{mg}\approx\frac{120}{10}\,\mathrm m=12\,\mathrm m

Dvě tělesa – kulečníkové koule

Jedna koule stojí. Druhá s kinetickou energií 2,5 J do ní narazí a zastaví se. Jakou kinetickou energii bude mít první koule?

  • Všechny E_\mathrm p jsou stejné (vůči stolu nulové), můžeme je tedy z rovnic vynechat.
  • Před srážkou: E_\mathrm {k,1}=0\,\mathrm J a E_\mathrm {k,2}=2{,}5\,\mathrm J. Takže E=E_\mathrm {k,1}+E_\mathrm {k,2}=2{,}5\,\mathrm J
  • Po srážce: E_\mathrm {k,1}=? a E_\mathrm {k,2}=0\,\mathrm J
  • Aby zůstal součet obou energií roven 2,5 J, musí být E_\mathrm {k,1} po srážce rovna právě 2,5 J.

Práce (značíme W) je forma přenosu energie, proto má také stejnou jednotku, Joule.

V klasické mechanice se zabýváme především prací vykonanou působením síly na těleso po nějaké dráze. Práci ale koná jen ta část síly F, která je ve směru pohybu. Pro posun jedním směrem o s tedy můžeme psát:

W=F_\parallel\cdot s

Pokud síla směřuje stejným směrem jako pohyb je to prostý součin W=F\cdot s

Pokud síla směřuje opačným směrem než pohyb, je práce záporná (W=-F\cdot s).

Pokud je síla kolmá na směr pohybu, je práce nulová.

Zajímavosti

Rovnici W=F_\parallel\cdot s můžeme pomocí úhlu mezi silou F a směrem pohybu zapsat také jako:

W=F\cdot s \cdot\cos\alpha

Účinnost je číslo od 0 do 1 (popř. od 0 % do 100 %), které vyjadřuje, jakou část dodávaného výkonu dokáže spotřebič využít k vykonávání své funkce. Skutečná účinnost nemůže být vyšší než 100 % (takové zařízení by vyrábělo energii z ničeho – perpetuum mobile).

Účinnost značíme řeckým písmenem η (éta). Je bezrozměrná (jednotkou je 1).

Dodaný výkon označujeme jako příkon a značíme P_0. Využitý výkon označujeme prostě jako výkon (spotřebiče) a značíme P

Matematicky zapíšeme účinnost jako:

\eta = \frac{P}{P_0},

Úpravou odvodíme také vztahy pro výpočty výkonu P=\eta\cdot P_0 a příkonu P_0 = \frac{P}{\eta}.

Příklad 1

  • Žárovka odebírá ze zásuvky příkon 80 W. Na očekávanou světelnou energii se přemění ale jen 12 W.
  • Zbytek výkonu se přemění hlavně na teplo, ale kvůli topení žárovku nepoužíváme.
  • Účinnost tedy je jen \eta=12/80=0{,}15= 15\,\%

Příklad 2

  • Rychlovarná konvice odebírá 2000 W. Skoro všechnu energii přeměňuje na teplo, ale jen 1900 W tepelného výkonu ohřívá vodu.
  • Zbytek tepelného výkonu ohřívá např. konstrukci konvice, nebo okolní vzduch (což nepotřebujeme). Malá část příkonu je navíc přeměněna na elektromagnetickou energii.
  • Účinnost tedy je \eta=1900/2000=0{,}95= 95\,\%

Hydrostatický tlak: základy

Přejít ke cvičením na toto téma »

U kapalin je projevem jejího tíhového působení hydrostatický tlak. Jeho působením na plochu je hydrostatická tlaková síla.

Hydrostatický tlak značíme p_\mathrm h a závisí na hloubce pod hladinou h, přitažlivosti planety (tíhové zrychlení g) a na tom, o jak těžkou kapalinu jde (hustota \rho). Je to přímo součin:

p_\mathrm h=h\rho g

Hlavní rozdíl vůči tlaku vyvolanému vnější silou je ten, že není v celém objemu kapaliny stejný (roste s hloubkou).

Podle známé definice tlaku jako síly na plochu (p=F/S) můžeme odvodit i vzorec pro sílu vyvolanou hydrostatickým tlakem (působící na plochu S).

Do vzorce F=p\cdot S stačí jen dosadit hydrostatický tlak p_\mathrm h:

F= S h\rho g

Zajímavosti

  • Už v hloubce 10 m pod vodu je hydrostatický tlak stejně velký, jako tlak celé atmosféry Země.

Pro tíhové působení plynů naší (nebo jiné) atmosféry definujeme atmosférický tlak. Princip je podobný jako u hydrostatického tlaku. I atmosférický tlak závisí na přitažlivosti (tíhovém zrychlení g), výšce atmosféry a její hustotě. Nemůžeme ale jednoduše použít stejný vzorec jako pro hydrostatický tlak, protože hustota plynu \rho není konstantní, výška atmosféry není jasně ohraničená a dokonce i g není v 60km výšce stejné u hladiny moře.

Platí alespoň, že čím výše se nacházíme, tím nižší atmosférický tlak tam bude (menší část vzduchového sloupce nad námi). Rozdíly se ale projeví až na větších výškových rozdílech, i kvůli malé hustotě vzduchu \rho\approx 1{,}2\,\mathrm{kg/m^3}.

U hladiny moře počítáme s tlakem kolem 100 000 Pa. Standardní hodnota je stanovena na 101 325 Pa. Znamená to také, že podle F=p\cdot S nám na 1 m² kůže působí síla 101 325 N. Naštěstí stejná síla působí i zevnitř těla (např. plíce), takže nejsme slisováni do malých masových kuliček.

Kromě pascalů se používají jednotky jako bar (1 bar = 100 000 Pa), atmosféra (1 atm. = 101 325 Pa) Často se atmosférický tlak také uvádí v neobvyklém násobku –⁠ hektopascalech (hPa).

Rozdíly v atmosférickém tlaku z velké části tvoří počasí (tlakové výše a níže, přesun vzduchu mezi nimi a vznik větru).

Vytékání kapaliny malým otvorem

Přejít ke cvičením na toto téma »

Pomocí Bernoulliho rovnice (\frac{1}{2}\rho v_1^2+p_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2+p_2) můžeme odvodit rychlost tryskání vody z (malého) otvoru v nějaké nádobě.

Zevnitř (index 1) je rychlost prakticky nulová a vně (index 2) je zase nulový tlak (pokud od obou stran odečteme atmosférický tlak). Po dosazení těchto nul do rovnice výše dostaneme p_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2.

Tlak p_1 je vlastně hydrostatický tlak v nádobě (h\rho g) a rychlost zůstala jen jedna, nemusíme ji tedy indexovat. Máme h\rho g=\frac{1}{2}\rho v^2, z čehož vyjádříme rychlost:

v = \sqrt{2 h g}

Příklad 1

  • Bude z otvoru v dvojnásobné hloubce nebude stříkat voda dvakrát rychleji?
  • Podle vzorce v = \sqrt{2 h g} ne. Rychlost závisí na odmocnině z hloubky.
  • Bude tedy jen \sqrt 2-krát větší.

Příklad 2

  • Jaká bude rychlost stříkání vody z děravé lahve ve stavu beztíže?
  • Ve stavu beztíže je g nulové.
  • Podle v = \sqrt{2 h g} bude tedy nulová i rychlost.

U proudění tekutin definujeme tzv. objemový průtok Q_V. Je to objem tekutiny, který proteče trubkou za jednotku času. Jednotkou je tedy m³/s a platí:

Q_V=\frac{V}{t}

Přitom objem V je roven součinu průřezu trubice S a posunu kapaliny s.

Po dosazení máme Q_V=\frac{S\cdot s}{t}. Víme přitom, že \frac{s}{t} je klasická definice rychlosti, tedy i rychlosti proudění. Proto můžeme průtok zapsat ekvivalentní rovnicí:

Q_V=S\cdot v

Protože jsou kapaliny nestlačitelné, musí být průtok Q_V v uzavřeném plném potrubí všude stejný (jinak by se někde musela hromadit).

Pokud tedy porovnáme dvě místa, máme Q_{V{,}1}=Q_{V{,}2} a po dosazení za Q_{V} vznikne známý vzorec rovnice kontinuity:

S_1\cdot v_1=S_2\cdot v_2

Příklady:

  • Pokud je potrubí stále stejně tlusté, teče kapalina všude stejně rychle.
  • Pokud má místo 2 jen poloviční průřez, musí v něm kapalina téct dvakrát rychleji.

Zajímavosti

  • Přibližně platí i pro volně proudící kapalinu (řeka a její koryto).
  • Někdy přibližně platí pro plyny (jsou stlačitelné).
  • Obdobné rovnice kontinuity platí například i v elektřině (1. Kirchhoffův zákon).
  • Rovnice V=S\cdot s je spolehlivá jen pro malé s (mohl by se změnit průměr trubice). Naštěstí rovnice Q_V=S\cdot v je už platná obecně.

Bernoulliho rovnice popisuje souvislost mezi tlakem p v kapalině (o hustotě \rho) a rychlostí jejího proudění v. Podél jedné proudnice platí:

\frac{1}{2}\rho v^2+p = \mathrm{konst.}

Pro dvě místa na téže proudnici tedy platí (pro konstantní hustotu)

\frac{1}{2}\rho v_1^2+p_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2+p_2

Pro jednoduchost obvykle definujeme Bernoulliho rovnici pro vodorovnou uzavřenou trubku.

Jak by to bylo pro nevodorovnou trubku? Pro nevodorovnou trubku bychom do tlaku museli do celkového tlaku započítávat i hydrostatický tlak p_h.

Bernoulliho rovnice vlastně říká, že zvýšením rychlosti proudění poklesne tlak. Tento princip platí i pro libovolné neturbulentní proudění kapaliny nebo plynu. Matematický vzorec sice v takovém případě neplatí přesně, ale jako odhad se hodí.

Tohoto principu se využívá v řadě případů, kde chceme vůči okolnímu prostředí vytvořit podtlak (fixírka, některé typy vývěv, profil křídla letadel, …).

Zajímavosti

  • Bernoulliho rovnice je vlastně rovnice zachování energie na jednotku objemu. Po vynásobení objemem je to ještě patrnější – získáte \frac{1}{2}m v^2 (kinetická energie) a p\cdot V=p\cdot S\cdot s=F\cdot s (práce/potenciální energie).

Definice

Tlak (značíme p) je veličina popisující deformační (ne pohybové) účinky síly na těleso. Je definován pomocí tlakové síly \vec F působící kolmo na určitou plochu S.

p = \frac{F}{S}

Úpravou rovnic (nebo pomocí vztahového trojúhelníku níže) můžeme odvodit další vztahy

F = p \cdot S

S = \frac{F}{p}

Jednotky

Jednotkou je (jak ze vztahu p = F/S vyplývá) newton na metr čtvereční (N/m²). Tato jednotka dostala také vlastní název – pascal.

Vtip o jednotkách

Archimedes, Pascal a Newton hrají na schovávanou.
Archimedes piká… Pascal se rychle schová do křoví.
Newton se vůbec neschovává, jen do hlíny klackem
namaluje čtverec metr krát metr a postaví se do něj.
Archimedes dopiká, okamžitě uvidí Newtona a volá:
„Deset dvacet Newton!“ Newton v klidu řekne:
„Nene. Newton na metr čtvereční je přece pascal!“

Typicky se setkáváme se silami v jednotkách až stovkách newtonů působícími na plochy mnohem menší než je metr čtvereční. Proto se kolem nás setkáváme nejčastěji s tlaky v tisících, ne-li milionech pascalů.

Vztahový trojúhelník

Pro získání vzorce pro libovolnou veličinu p, F, S můžeme použít vztahový trojúhelník (pyramidu). Více o tom jak se vytváří a funguje najdete zde.


Zajímavosti

Jednotka pascal je v soustavě SI teprve od roku 1971

Pozn.: Ne vždy lze jednoduše znázornit tlakovou sílu s působištěm v místě doteku (např. více končetin). Proto v některých příkladech používáme k ilustraci i tíhovou sílu s působištěm v těžišti. Má totiž stejnou velikost jako tlaková síla, kterou vyvolává.

Vlnění si představíme intuitivně podle vln na vodě. Obecně je to kmitání (nějaké veličiny), které se šíří do prostoru.

Dělíme jej podle směrů šíření a výchylky:

  • podélné – výchylka je rovnoběžná se směrem šíření (např. zvukové vlny, zhušťování a ředění)
  • příčné – výchylka je kolmá na směr šíření (např. struna na kytaře, vypadají tak i vlny na vodě)
  • ani jedno – výchylka je vůči směru šíření orientovaná libovolně (skutečné vlny na vodě)

Vlny mají stejně jako kmity frekvenci f (kolikrát za sekundu jedním místem prokmitnou) a periodu T (čas, po kterém se začne vlna opakovat). Platí:

f\cdot T=1

Navíc mají vlnovou délku \lambda (vzdálenost, po jaké se začne vlna opakovat). Vlna se šíří rychlostí v. Platí:

v=\lambda \cdot f

Vlnová délka má jednotku m, a rychlost má jednotku m/s.

I dobré vodiče mají elektrický odpor (nulový odpor mají jen supravodiče).

Záleží na materiálu i na rozměrech vodiče. K zjištění odporu drátu potřebujeme konkrétně znát:

  • typ materiálu (rezistivita \rho, s jednotkou Ω⋅m)
  • průřez vodiče (S)
  • délka vodiče (l)

Odpor vodiče R se pomocí těchto parametrů spočítá jako:

R=\rho\frac{l}{S}

Co z toho také plyne?

  • Čím delší drát, tím větší odpor (a naopak).
  • Čím tlustší drát, tím menší odpor (a naopak).

Zajímavosti

  • Délku vodiče si můžeme představit jako sériové spojování odporů, proto dává smysl, že je v čitateli.
  • Průřez vodiče si můžeme představit jako paralelní spojování odporů, proto dává smysl, že je ve jmenovateli.

Polovodiče jsou látky s elektrickými vlastnostmi někde mezi vodiči a izolanty. Díky některým unikátním vlastnostem se staly nepostradatelnými pro prakticky veškerou moderní elektroniku.

Polovodiče jsou (nejčastěji pevné, krystalické) látky, které vedou proud, ale jen málo a, na rozdíl od vodičů, jejich elektrický odpor při zahřátí klesá. Tvoří je prvky (zejména z oblasti polokovů v periodické tabulce) i sloučeniny. Např. křemík (Si), germanium (Ge), arsenid gallia (GaAs), sulfid olovnatý (PbS) aj. Vyrábí se z nich diody, tranzistory, termistory a mnoho jiných součástek, na kterých závisí fungování téměř veškeré dnešní elektroniky (počítače).

Princip polovodiče

Když dodáme atomu polovodiče dost energie, může se od něj utrhnout záporný elektron. Navíc za sebou zanechá neobsazené (kladné) místo v atomu, tzv. díru.

Volné elektrony a díry jsou tzv. nosiče náboje. Když totiž přiložíme napětí, budou přenášet náboj – vést proud. Každý ale jinak:

  • Volný elektron jednoduše letí, přitahován k +.

  • Díru se snaží zaplnit elektrony sousedních atomů přitahované k +. A tím vytvoří novou díru. Tento řetěz děr považujeme za jednu pohyblivou díru (není to tedy skutečná částice, ale jakási pseudočástice).

Pouze když díru zaplní volný elektron, oba nosiče náboje zanikají. To je tzv. rekombinace.

Polovodiče jsou (nejčastěji pevné, krystalické) látky, které vedou proud, ale jen málo a, na rozdíl od vodičů, jejich elektrický odpor při zahřátí klesá. Tvoří je prvky (zejména z oblasti polokovů v periodické tabulce) i sloučeniny. Např. křemík (Si), germanium (Ge), arsenid gallia (GaAs), sulfid olovnatý (PbS) aj. Vyrábí se z nich diody, tranzistory, termistory a mnoho jiných součástek, na kterých závisí fungování téměř veškeré dnešní elektroniky (počítače).

Princip polovodiče

Když dodáme atomu polovodiče dost energie, může se od něj utrhnout záporný elektron. Navíc za sebou zanechá neobsazené (kladné) místo v atomu, tzv. díru.

Volné elektrony a díry jsou tzv. nosiče náboje. Když totiž přiložíme napětí, budou přenášet náboj – vést proud. Každý ale jinak:

  • Volný elektron jednoduše letí, přitahován k +.

  • Díru se snaží zaplnit elektrony sousedních atomů přitahované k +. A tím vytvoří novou díru. Tento řetěz děr považujeme za jednu pohyblivou díru (není to tedy skutečná částice, ale jakási pseudočástice).

Pouze když díru zaplní volný elektron, oba nosiče náboje zanikají. To je tzv. rekombinace.

Celkový proud v polovodiči I je součtem proudu elektronů I_\mathrm e a proudu děr I_\mathrm d. Tedy I=I_\mathrm e+I_\mathrm d

Párů elektron-díra vytvořených tepelnou energií je v čistém polovodiči málo (např. 1 z miliardy atomů). Proto často polovodič dopujeme atomy, které mají více nebo méně valenčních elektronů.

Polovodič typu P: Pokud je elektronů méně (gallium, bór, indium, …), chová se atom, jako by měl automaticky díru.

Polovodič typu N: Pokud je elektronů více (fosfor, arsen, …), elektron navíc je extrémně slabě vázán a snadno se stává volným elektronem navíc.

U dopovaných polovodičů není tedy stejný počet děr jako volných elektronů – máme majoritní (většinové) nosiče náboje a minoritní (menšinové) nosiče náboje.

Většinou se dopuje jen nepatrně (i když nahradíme jen každý miliontý atom, zvýšíme vodivost vzorku z 1. odstavce 1000x).

Součástky jejichž úkolem je klást elektřině odpor. Samy někdy (nepřesně) označované jako „odpory“ (hlavní vlastnost rezistorů, ale mají ji i jiné součástky). Elektrická energie se v nich přeměňuje na teplo.

Hodnota el. odporu je na nich nejčastěji znázorněna textově (např. 1k2 znamená „jedno-kilo-dvě“ tedy 1200 ohmů) nebo graficky pomocí různobarevných proužků.

Často nás zajímá, jaký celkový odpor má více rezistorů v obvodu dohromady (např. pro výpočet celkového proudu obvodem). Záleží na tom, jestli jsou v obvodu spojeny sériově nebo paralelně.

Sériově zapojené rezistory

To znamená jeden za druhým (viz obrázek). Oběma mj. teče stejný proud I.

Z toho (a Ohmova zákona) se dá odvodit, že jejich celkový odpor je normálním součtem jednotlivých odporů. Tedy:

R_{12}=R_1+R_2

Paralelně zapojené rezistory

To znamená každý na jiné větvi proudu (tzv. vedle sebe, viz obrázek). Na obou musí být stejné napětí U.

Z toho (a Ohmova zákona) se dá odvodit, že jejich celkový odpor splňuje rovnici:

\frac{1}{R_{12}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}

Jde tedy o podobnou rovnici, ale s převrácenými hodnotami. Matematickými úpravami můžeme dojít k vyjádření R_{12} jako:

R_{12}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}

Více rezistorů

Pro více rezistorů (a obecně více odporů) platí podobné vztahy.

Sériové zapojení N členů: R_{12..N}=R_1+R_2+R_3+\cdots+R_N

Paralelní zapojení N členů: \frac{1}{R_{12..N}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\cdots+\frac{1}{R_N}

(úprava do tvaru R_{12..N}= je samozřejmě možná, výsledné vzorce ale vypadají podle počtu rezistorů různě)

Složitější zapojení

Zjednodušujeme podle pravidel výše postupně od nejmenších vnitřních celků (dvojic).

Takto ano:

Takto ne (vybraná dvojice netvoří samostatné paralelní zapojení, k pravému uzlu se musí jít přes R_3):

Tři Keplerovy zákony formuloval Johanes Kepler na základě pozorování pohybu planet kolem Slunce.

1. Zákon trajektorií

Planety se kolem Slunce pohybují po málo výstředných elipsách (tj. skoro kružnicích). Slunce se přitom nachází v jednom z ohnisek takové elipsy.

2. Zákon ploch

Plocha opsaná průvodičem planety za jednotku času je stále stejná

Kvantifikuje skutečnost, že se těleso blíže ke Slunci pohybuje rychleji. Konstantní není rychlost, ani vzdálenost, ale plocha trojúhelníka o stranách „rychlost“ a „spojnice-se-sluncem“. Matematicky zapsáno S=v\cdot r\cdot \sin \alpha = \mathrm{konst.} (kde \alpha je úhel mezi směrem rychlosti a spojnicí se Sluncem)

3. Zákon period oběhu

Pro dvě planety obíhající kolem Slunce platí že, poměr druhých mocnin period oběhu je roven poměru třetích mocnin hlavních poloos oběžných drah. Matematicky zapsáno \frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}

Druhý a třetí zákon platí obecně i pro jiná tělesa (např. komety) a pro obíhání kolem jiných gravitačních center (např. družice kolem Země)

Zajímavosti

  • Keplerovy zákony jsou vlastně zákony kinematiky (nepopisují mechanismus sil, které obíhání způsobují). To popsal až Isaac Newton, bylo to ale právě na základě Keplerových prací.

Demo p5.js

this should not be *formated* 1023456564

this link should not be formated

NAPIŠTE NÁM

Děkujeme za vaši zprávu, byla úspěšně odeslána.

Napište nám

Nevíte si rady?

Nejprve se prosím podívejte na časté dotazy:

Čeho se zpráva týká?

Vzkaz Obsah Ovládání Přihlášení Licence